Задачи оптимального периодического сбора ресурса для моделей популяций, заданных разностными уравнениями

Рассматриваются модели однородных или структурированных (по виду, возрасту или иному признаку) популяций, динамика которых при отсутствии эксплуатации задана системой разностных уравнений $x(k+1) = F\big(k, x(k)\big),$ где $x(k) = \big(x_1(k),$ $\ldots, x_n(k)\big),$ $x_i(k),$ $i=1,\ldots,n$ - численность $i$-го вида или возрастного класса популяции в момент времени $k=0,1,2,\ldots;$ $F(k,x)=\bigl(F_1(k,x), \ldots, F_n(k,x)\bigr),$ $F_i(k,x)$ вещественные функции, которые определены и непрерывны на множестве $\mathbb{R}^n_+ \doteq\big\{x\in\mathbb{R}^n : x_1\geqslant0, \ldots, x_n\geqslant0\big\}.$ Предполагается, что в моменты времени $k=1, 2, \ldots$ популяция подвержена промысловому воздействию $u(k)=(u_1(k),\ldots,u_n(k))\in[0, 1]^n.$ Тогда исследуется модель эксплуатируемой популяции, заданной системой разностных уравнений $X(k+1) = F\bigl(k,(1-u(k))X(k)\bigr), \quad k=1, 2, \ldots,$ где $X(k)=\big(X_1(k), \ldots, X_n(k)\big),$ $(1-u(k))X(k)=\big((1-u_1(k))X_1(k),\ldots,(1-u_n(k))X_n(k)\big),$ $X_i(k)$ и ${(1-u_i(k))X_i(k)}$ количество ресурса $i$-го вида до и после сбора в момент $k$ соответственно, $i=1,\ldots,n.$ Исследуется задача оптимального сбора возобновляемого ресурса на неограниченном промежутке времени при периодическом режиме эксплуатации, при котором достигаются наибольшие значения характеристик сбора. Первая из таких характеристик - средняя временная выгода, заданная пределом при $k\to\infty$ среднего арифметического стоимости ресурса за $k$ сборов. Другая - эффективность сбора, равная пределу при $k\to\infty$ отношения стоимости ресурса, полученной за $k$ сборов, к сумме приложенных для этого управлений (усилий сбора). Результаты работы проиллюстрированы на примерах однородной эксплуатируемой популяции, заданной дискретным логистическим уравнением, и структурированной популяции, состоящей из двух видов.

модель подверженной промыслу популяции, оптимальная эксплуатация, периодический сбор возобновляемого ресурса, средняя временная выгода, эффективность сбора ресурса

1. A.S. Ackleh, S.R.J. Jang, “A discrete two-stage population model: continuous versus seasonal reproduction”, Journal of Difference Equations and Applications, 13:4 (2007), 261–274.

2. К.В. Шлюфман, Г.П. Неверова, Е.Я. Фрисман, “Динамические режимы модели Рикера с периодически изменяющимся мальтузианским параметром”, Нелинейная динамика, 13:3 (2017), 363–380.

3. M. Fan, K. Wang, “Optimal harvesting policy for single population with periodic coefficients”, Mathematical Biosciences, 152:2 (1998), 165–178.

4. L. Dong, L. Chen, L. Sun, “Optimal harvesting policies for periodic Gompertz systems”, Nonlinear Analysis: Real World Applications, 8:2 (2007), 572–578.

5. M. Liu, “Optimal harvesting of stochastic population models with periodic coefficients”, Journal of Nonlinear Science, 32:23 (2022), 23.

6. Г.П. Неверова, Р.Г. Xлебопpоc, Е.Я. Фрисман, “Влияние эффекта Олли на динамику популяций c сезонным характером размножения”, Биофизика сложных систем, 62:6 (2017), 1174–1184.

7. Е.В. Ашихмина, Ю.Г. Израильский, “Оптимизации промысла популяций при циклическом изменении лимитирующих рост численности факторов среды”, Информатика и системы управления, 2(20) (2009), 11–18.

8. A.O. Belyakov, V.M. Veliov, “On optimal harvesting in age-structured populations”, Dynamic Perspectives on Managerial Decision Making: Essays in Honor of Richard F. Hartl, Dynamic Modeling and Econometrics in Economics and Finance, 22, eds. H. Dawid, K. F. Doerner, G. Feichtinger, P. M. Kort, A. Seidl, 2016, 149–166.

9. А.А. Давыдов, Д.А. Мельник, “Оптимальные состояния распределенных эксплуатируемых популяций с периодическим импульсным отбором”, Труды Института математики и механики УрО РАН, 27, 2021, 99–107.

10. Е.О. Бурлаков, В.А. Ярема, “О задачах импульсного управления, возникающих при разработке автоматизированных систем контроля численности вредителей в тепличных комплексах”, Вестник российских университетов. Математика, 29:148 (2024), 381–390.

11. L.I. Rodina, A.V. Chernikova, “Problems of optimal resource harvesting for infinite time horizon”, Journal of Mathematical Sciences, 270:4 (2023), 609–623.

12. Л.И. Родина, А.В. Черникова, “Об оптимальной добыче возобновляемого ресурса на бесконечном промежутке времени”, Труды Института математики и механики УрО РАН, 29:1 (2023), 167–179.

13. А.В. Черникова, “О существовании предела средней временной выгоды в вероятностных моделях сбора возобновляемого ресурса”, Вестник российских университетов. Математика, 27:140 (2022), 386–404.

14. А.В. Егорова, Л.И. Родина, “Об оптимальной добыче возобновляемого ресурса из структурированной популяции”, Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки, 29:4 (2019), 501–517.

15. А.Н. Шарковский, С.Ф. Коляда, А.Г. Сивак, В.В. Федоренко, Динамика одномерных отображений, Наукова думка, Киев, 1989, 216 с.