Доказательство выпуклости функции L(σ, T) при малых T и гипотеза Римана

В статье доказывается гипотеза Римана для частного случая, когда действительная $\sigma$ и мнимая $T=1/(2a)$ части аргумента дзета-функции принадлежат определенной области $\Theta_R$ комплексной плоскости. В основу положен метод В. Блиновского: 1) выводится выражение для функции $L(\sigma,a)$ – квадрата модуля основной части дзета-функции, влияющей на ее нули, 2) доказательство гипотезы Римана сводится к доказательству выпуклости вниз функции $L$ по $\sigma,$ т. е. положительности $L_{\sigma\sigma}^{(2)}(\sigma,a).$ Авторами показаны оценки, позволяющие описать область $\Theta_R,$ приведены данные вычислительного эксперимента, проведенного в математическом пакете Maxima, по построению области $\Theta_R.$ Сделан обзор литературы по современному состоянию вопроса доказательства гипотезы. Предложено дальнейшее развитие метода как с точки зрения расширения области $\Theta_R,$ так и для повышения вычислительной эффективности.

1. И. С. Градштейн, И. М. Рыжик, Таблицы интегралов, рядов и произведений, БХВ-Петербург, Санкт-Петербург, 2011.

2. W. Magnus, F. Oberhettinger, R. P. Soni, Formulas and Theorems for the Special Functions of Mathematical Physics, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 52, Springer Berlin, Heidelberg, 1966, 508 pp.

3. E. T. Whittaker, G. N. Watson, A Course of Modern Analysis, Part II: Transcendental Functions, 5th ed., Cambridge University Press, 2021, 668 pp.

4. M. A. Chaudhry, A. Qadir, A. Tassaddiq, “A new generalization of the Riemann zeta function and its difference equation”, Advances in Difference Equations, 2011 (2011), art. no. 20.

5. H. M. Srivastava, M. A. Chaudhry, A. Qadir, A. Tassaddiq, “Some extensions of the Fermi-Dirac and Bose-Einstein functions with applications to the family of the zeta and related functions”, Russian Journal of Mathematical Physics, 18 (2011), 107–121.

6. P. T. Young, Differential equations satisfied by zeta functions, 2021, https://doi.org/10.13140/RG.2.2.26010.98244.

7. A. N. Pchelintsev, “On a high-precision method for studying attractors of dynamical systems and systems of explosive type”, Mathematics, 10:8 (2022), ID 1207.

8. Е. А. Карацуба, “Быстрое вычисление значений дзета-функции Гурвица и L -рядов Дирихле”, Проблемы передачи информации, 34:4 (1998), 62–75; англ. пер.

9. E. C. Titchmarsh, The Theory of The Riemann Zeta-Function, 2nd ed., Clarendon Press, Oxford, 1986.

10. С. Б. Стечкин, “О нулях дзета-функции Римана”, Математические заметки, 8:4 (1970), 419–429; англ. пер.

11. И. М. Виноградов, “Новая оценка функции ζ(1 + it) ”, Известия Академии наук СССР. Серия математическая, 22:2 (1958), 161–164.

12. А. А. Карацуба, Основы аналитической теории чисел, Едиториал УРСС, М., 2004.

13. Н. М. Коробов, “Оценки тригонометрических сумм и их приложения”, Успехи математических наук, 13:4(82) (1958), 185–192.

14. K. Ford, “Vinogradov’s integral and bounds for the Riemann zeta function”, Proceedings of the London Mathematical Society, 85:3 (2002), 565–633.

15. K. Ford, “Zero-free regions for the Riemann zeta function”, 2025, arXiv: abs/1910.08205v56.

16. M. J. Mossinghoff, T. S. Trudgian, “Nonnegative trigonometric polynomials and a zero-free region for the Riemann zeta-function”, Journal of Number Theory, 157 (2015), 329–349.

17. M. J. Mossinghoff, T. S. Trudgian, A. Yang, “Explicit zero-free regions for the Riemann zeta-function”, Research in Number Theory, 10 (2024), art. no. 11.

18. A. M. Odlyzko, A. Sch¨onhage, “Fast algorithms for multiple evaluations of the Riemann zeta-function”, Transactions of the American Mathematical Society, 309:2 (1988), 797–809.

19. A. M. Odlyzko, “The 1022 -th zero of the Riemann zeta function”, Contemporary Mathematics, Special Session on Dynamical, Spectral, and Arithmetic Zeta Functions, 290, eds. M. L. Lapidus, M. van Frankenhuysen, 2001, 139–144.

20. V. Blinovsky, “Proof of Riemann hypothesis”, 2019, arXiv: abs/1703.03827v12.

21. В. А. Зорич, Математический анализ. Часть II, МЦНМО, М., 2002.

22. Maxima computer algebra system, http://maxima.sourceforge.net/ru/.