О зависимости неподвижной точки от параметра\\ в $(q_1, q_2)$-квазиметрических пространствах

В статье исследуется вопрос о непрерывной зависимости неподвижных точек сжимающих отображений, действующих в $(q_{1}, q_{2})$-квазиметрических пространствах, от параметра. Рассматривается уравнение вида $x = F(x, p).$ В нем $x\in X$ --- это неизвестная, принадлежащая полному $(q_{1}, q_{2})$-квазиметрическому пространству $X,$ $p$ --- это параметр, лежащий в заданном топологическом пространстве $P,$ а $F:X\times P\to X$ --- это заданное отображение. Предполагается, что это отображение является сжимающим по переменной $x.$ С использованием известных условий существования и единственности неподвижной точки сжимающих отображений полных $(q_{1}, q_{2})$-квазиметрических пространств, получены достаточные условия, при которых отображение, которое каждому $p\in P$ ставит в соответствие решение $x(p)$ рассматриваемого уравнения, является непрерывным. Получено следствие, гарантирующее непрерывность отображения $x(p)$ в случае, когда $X$ является полным метрическим пространством. Кроме того, рассмотрен случай, когда топологическое пространство $P$ является $(q_{1}, q_{2})$-квазиметрическим пространством. Получены достаточные условия липшицевости отображения $x(p),$ получена оценка константы Липшица этого отображения. Выведено следствие этого результата для случая, когда $X$ является полным метрическим пространством, а пространство параметров $P$ является метрическим.

квазиметрические пространства, непрерывная зависимость от параметра, решение неявных уравнений

1. А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин, Элементы теории функций и функционального анализа, 5-е изд., Наука, М., 1981.

2. A.B. Арутюнов, A.B. Грешнов, “Теория (q_1,q_2)-квазиметрических пространств и точки совпадения”, Докл. РАН., 469:5 (2016), 527–531.

3. З.Т. Жуковская, С.Е. Жуковский, Р. Сенгупта, “О точных неравенствах треугольника в (q_1,q_2)-квазиметрических пространствах”, Вестник российских университетов. Математика, 24:125 (2019), 33–38.

4. A.V. Arutyunov, B.D. Gel’man, E.S. Zhukovskiy, S.E. Zhukovskiy, “Caristi-like condition. Existence of solutions to equations and minima of functions in metric spaces”, Fixed Point Theory, 20:1 (2019), 31–58.

5. A.V. Arutyunov, V.A. de Oliveira, F.L. Pereira, E.S. Zhukovskiy, S.E. Zhukovskiy, “On the solvability of implicit differential inclusions”, Applicable Analysis, 94:1 (2015), 129–143.

6. J. Caristi, “Fixed point theorems for mappings satisfying inwardness conditions”, Trans. Amer. Math. Soc., 215 (1976), 241–251.

7. A. Granas, J. Dugundji, Fixed Point Theory, Springer–Verlag, New York, 2003.

8. A.V. Arutyunov, E.R. Avakov, S.E. Zhukovskiy, “Stability Theorems for Estimating the Distance to a Set of Coincidence Points”, SIAM Journal on Optimization, 25:2 (2015), 807–828.

9. М.В. Борзова, Е.С. Жуковский, Н.Ю. Черникова, “Одна оценка неподвижных точек и точек совпадения отображений метрических пространств”, Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки, 22:6 (2017), 1255–1260.

10. A.V. Arutyunov, S.E. Zhukovskiy, N.G. Pavlova, “Equilibrium price as a coincidence point of two mappings”, Comput. Math. Math. Phys., 53:2 (2013), 158–169.

11. A.V. Arutyunov, E.S. Zhukovskiy, S.E. Zhukovskiy, “Coincidence points principle for mappings in partially ordered spaces”, Topology and its Applications, 179:1 (2015), 13–33.

12. A.V. Arutyunov, E.S. Zhukovskiy, S.E. Zhukovskiy, “Caristi-Like Condition and the Existence of Minima of Mappings in Partially Ordered Spaces”, Journal of Optimization Theory and Applications, 180:1 (2019), 48–61.

13. R. Sengupta, “On fixed points of contraction maps acting in (q_1,q_2)-quasimetric spaces and geometric properties of these spaces”, Eurasian Math. J., 8:3 (2017), 70–76.