Теоремы о возвращении для динамических систем в секвенциально компактном топологическом пространстве с инвариантной мерой Лебега

Приведено свойство, достаточно полно характеризующее взаимоотношение движений динамической системы $g^t,$ заданной в хаусдорфовом секвенциально компактном топологическом пространстве $\Gamma.$ Отмечено, что в пространстве $\Gamma$ с инвариантной (относительно $g^t$) мерой Лебега $\mu$ справедлив прямой аналог теоремы Пуанкаре–Каратеодори о возвращении множеств. Кроме того, показано, что если $\bar{\mathcal{M}}$ — замыкание объединения $\mathcal{M}$ всех минимальных множеств пространства $\Gamma,$ то $\mu\bar{\mathcal{M}}=\mu\Gamma,$ а через каждую точку $p\notin\mathcal{M}$ проходит движение $f(t,p),$ которое является и положительно, и отрицательно асимптотическим по отношению к компактным минимальным множествам $\Omega_p\subset\mathcal{M}$ и $\mathrm{A}_p\subset\mathcal{M}.$ Если при этом $\Gamma$ удовлетворяет второй аксиоме счетности, то $\mu\mathcal{M}=\mu\Gamma,$ т. е. в $\Gamma$ имеет место важное дополнение к теореме Пуанкаре–Каратеодори о возвращении точек.

секвенциально компактное топологическое пространство, динамические системы, инвариантная мера Лебега, теоремы о возвращении точек и множеств

1. В.В. Немыцкий, В.В. Степанов, Качественная теория дифференциальных уравнений, УРСС, М., 2004.

2. Дж. Биркгоф, Динамические системы, Изд. дом «Удмуртский университет», Ижевск, 1999.

3. D.N. Cheban, Asymptotically Almost Periodic Solutions of Differential Equations, HPC Publ., New York, 2009.

4. A.P. Afanas’ev, S.M. Dzyuba, “The interrelation of motions of dynamical systems in a metric space”, Lobachevskii J. Math., 43:12 (2022), 3414–3419.

5. S.M. Dzyuba, “On the interrelation of motions of dynamical systems on compact manifolds”, Lobachevskii J. Math., 44:7 (2023), 2630–2637.

6. С.М. Дзюба, “О рекуррентных движениях динамических систем в полуметрическом пространстве”, Вестник российских университетов. Математика, 28:144 (2023), 371–382.

7. С.М. Дзюба, “О рекуррентных движениях периодических процессов в секвенциально компактном топологическом пространстве”, Вестник российских университетов. Математика, 29:146 (2024), 138–148.

8. Л.С. Понтрягин, Непрерывные группы, УРСС, М., 2009.

9. Л. Шварц, Анализ. Т. II, Мир, М., 1972

10. Л. Шварц, Анализ. Т. I, Мир, М., 1972.