Множества притяжения в абстрактных задачах о достижимости и их представления в терминах ультрафильтров

Рассматриваются абстрактные задачи о достижимости в топологическом пространстве (ТП) с ограничениями асимптотического характера (ОАХ), реализуемыми посредством непустого семейства множеств в пространстве обычных решений (управлений). В качестве аналога множества достижимости, определяемого образом целевого оператора (ЦО) со значениями в ТП, рассматривается множество притяжения (МП) в классе фильтров или направленностей обычных решений. Исследуются вопросы, связанные с зависимостью МП при изменении семейства множеств в пространстве обычных решений, порождающего ОАХ. Особое внимание уделяется случаю, когда данное семейство является фильтром (всякое МП или может быть порождено ОАХ на основе фильтра, или пусто). В то же время МП при ОАХ, порождаемых ультрафильтром (у/ф), т.е. максимальным фильтром, при неограничительных условиях на ТП и ЦО является синглетоном, что позволяет ввести оператор притяжения (ОП), который в случае регулярного ТП оказывается непрерывным при оснащении множества всех у/ф на множестве обычных решений топологией Стоуна. На этой основе удается дать практически исчерпывающее представление конструкций, связанных с построением МП в регулярном ТП, в классе у/ф при их естественной факторизации на основе ЦО. Целый ряд полученных свойств распространяется на случай ЦО со значениями в хаусдорфовом ТП. Исследуются некоторые вопросы, связанные с ослаблением топологии пространства, в котором реализуется МП.

множество притяжения, топология, ультрафильтр

1. Н.Н. Красовский, Игровые задачи о встрече движений, Наука, М., 1970.

2. Н.Н. Красовский, Теория управления движением, Наука, М., 1968.

3. А.И. Панасюк, В.И. Панасюк, Асимптотическая магистральная оптимизация управляемых систем, Наука и техника, Минск, 1986.

4. Дж. Варга, Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями, Наука, М., 1977, 624 с.

5. А.Г. Ченцов, Ультрафильтры и максимальные сцепленные системы множеств, ЛЕНАНД, М., 2024, 416 с.

6. Н. Бурбаки, Общая топология. Основные структуры, Наука, М., 1968, 279 с.

7. А.Г. Ченцов, “Множества притяжения в абстрактных задачах о достижимости”, Тр. ИММ УрО РАН, 31, 2025, 294–315.

8. К. Куратовский, А. Мостовский, Теория множеств, Мир, М., 1970.

9. А.В. Булинский, А.Н. Ширяев, Теория случайных процессов, Физматлит, М., 2005.

10. П.С. Александров, Введение в теорию множеств и общую топологию, Едиториал, М., 2004, 368 с.

11. Р. Энгелькинг, Общая топология, Мир, М., 1986.

12. Р. Эдвардс, Функциональный анализ. Теория и приложения, Мир, М., 1969.

13. A.G. Chentsov, S.I. Morina, Extensions and Relaxations, Mathematics and Its Applications, 542, Springer Dordrecht, Boston; London, 2002, 408 pp.

14. А.Г. Ченцов, “Замкнутые отображения и построение моделей расширения”, Тр. ИММ УрО РАН, 29, 2023, 274–295.

15. А.Г. Ченцов, “Множества притяжения в абстрактной задаче о достижимости в топологическом пространстве”, Изв. ИМИ УдГУ, 65 (2025), 85–108.

16. Р.А. Александрян, Э.А. Мирзаханян, Общая топология, Высшая школа, М., 1979.

17. А.В. Кряжимский, “К теории позиционных дифференциальных игр сближения-уклонения”, Докл. АН СССР, 239:4 (1978), 779–782.

18. Н.Н. Красовский, А.И. Субботин, “Альтернатива для игровой задачи сближения”, Прикладная математика и механика, 34:6 (1970), 1005–1022.

19. Н.Н. Красовский, А.И. Субботин, Позиционные дифференциальные игры, Наука, М., 1974.

20. А.В. Кряжимский, Дифференциальные игры для нелипшицевых систем, дисс. ... докт. физ.-матем. наук, АН СССР УНЦ Институт математики и механики, Свердловск, 1980.

21. А.Г. Ченцов, Д.А. Серков, “Непрерывная зависимость множеств в пространстве мер и задача на программный минимакс”, Тр. ИММ УрО РАН, 30, 2024, 277–299.

22. Ж. Невё, Математические основы теории вероятностей, Мир, М., 1969.

23. П. Биллингсли, Сходимость вероятностных мер, Наука, М., 1977.

24. А.Г. Ченцов, Элементы конечно-аддитивной теории меры. I, УГТУ-УПИ, Екатеринбург, 2008, 388 с.

25. Н. Данфорд, Дж.Т. Шварц, Линейные операторы. Общая теория, Физматлит, М., 1962.