О существовании положительного решения краевой задачи для одного нелинейного функционально-дифференциального уравнения дробного порядка

Рассматривается краевая задача . Эта задача сводится к эквивалентному интегральному уравнению с монотонным оператором в пространстве непрерывных на функций (пространство полагается упорядоченным конусом неотрицательных функций, удовлетворяющих граничным условиям рассматриваемой задачи). С помощью известной теоремы Красносельского о неподвижных точках оператора растяжения (сжатия) конуса доказано существование хотя бы одного положительного решения рассматриваемой задачи. Приведен пример, иллюстрирующий выполнение достаточных условий, обеспечивающих разрешимость поставленной задачи. Полученные результаты являются продолжением исследований автора (см. [Вестник российских университетов. Математика, 27:138 (2022), 129–135]), посвященных вопросам существования и единственности положительных решений краевых задач для нелинейных функционально-дифференциальных уравнений.

функционально-дифференциальное уравнение дробного порядка, положительное решение, краевая задача, функция Грина

1. X.Xu, D. Jiang, C. Yuan, “Multiple positive solutions for the boundary value problem of a nonlinear fractional differential equation”, Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, 71:10 (2009), 4676–4688.

2. S. Sun, Y. Zhao, Z. Han, M. Xu, “Uniqueness of positive solutions for boundary value problems of singular fractional differential equations”, Inverse Problems in Science and Engineering, 20:3 (2012), 299–309.

3. Y. Zhao, S. Sun, Z. Han, W. Feng, “Positive solutions for a coupled system of nonlinear differential equations of mixed fractional orders”, Advances in Difference Equations, 2011, №1, 1–13.

4. T. Qiu, Z. Bai, “Existence of positive solutions for singular fractional differential equations”, Electronic Journal of Differential Equations, 2008:146 (2008), 1–9.

5. Y. Zhao, S. Sun, Z. Han, Q. Li, “Positive solutions to boundary value problems of nonlinear fractional differential equations”, Abstract and Applied Analysis, 2011:217 (2011), 6950–6958.

6. Y. Zhao, S. Sun, Z. Han, Q. Li, “The existence of multiple positive solutions for boundary value problems of nonlinear fractional differential equations”, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 16:4 (2011), 2086–2097.

7. B. Ahmad, R.P. Agarwal, “Some new versions of fractional boundary value problems with slitstrips conditions”, Boundary Value Problems, 175 (2014), 1–12.

8. X. Zhang, L. Liu, Y. Wu, Y. L, “The iterative solutions of nonlinear fractional differential equations”, Applied Mathematics and Computation, 219:9 (2013), 4680–4691.

9. X. Zhang, L. Liu, Y. Wu, “Existence results for multiple positive solutions of nonlinear higher order perturbed fractional differential equations with derivatives”, Applied Mathematics and Computation, 219:4 (2012), 1420–1433.

10. X. Zhang, L. Liu, Y. Wu, “Multiple positive solutions of a singular fractional differential equation with negatively perturbed term”, Mathematical and Computer Modelling, 55:3–4 (2012), 1263–1274.

11. Y. Wang, L. Liu, Y. Wu, “Positive solutions for a nonlocal fractional differential equation”, Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, 74:11 (2011), 3599–3605.

12. Zhanbing Bai, Haishen Lu, “Positive solutions for boundary value problem of nonlinear fractional differential equation”, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 311:2 (2005), 495–505.

13. S. Zhang, “Positive solutions for boundary-value problems of nonlinear fractional differential equations”, Electronic Journal of Differential Equations, 2006:36 (2006), 1–12.

14. S. Liang, J. Zhang, “Positive solutions for boundary value problems of nonlinear fractional differential equation”, Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, 71:11 (2009), 5545–5550.

15. Г.Э. Абдурагимов, “О существовании и единственности положительного решения краевой задачи для одного нелинейного функционально-дифференциального уравнения дробного порядка”, Материалы Воронежской весенней математической школы «Современные методы теории краевых задач. Понтрягинские чтения–XXX». Воронеж, 3–9 мая 2019 г. Часть 5, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз., 194, ВИНИТИ РАН, М., 2021, 3–7.

16. Г.Э. Абдурагимов, “О существовании и единственности положительного решения краевой задачи для одного нелинейного функционально-дифференциального уравнения дробного порядка”, Вестник российских университетов. Математика, 27:138 (2022), 129–135.

17. M.A. Krasnosel’skii, Positive Solutions of Operator Equations, Noordhoff, Groningen, 1964.

18. A. Cabada, J. Iglesias, “Nonlinear differential equations with perturbed Dirichlet integral boundary conditions”, Boundary Value Problems, 66 (2021), 1–19.