Включения с отображениями, действующими из метрического пространства в пространство с расстоянием

В статье исследуется включение, в котором многозначное отображение действует из метрического пространства (X, ρ ) во множество Y с расстоянием d . Это расстояние удовлетворяет только первой аксиоме метрики: d y 1 , y 2 равно нулю тогда и только тогда, когда y1 = y2 . Расстояние не обязано быть симметричным и удовлетворять неравенству треугольника. Для пространства (Y, d) определены простейшие понятия (шара, сходимости, расстояния от точки до множества), а для многозначного отображения G:X⇉Y введены множества накрывания, липшицевости и замкнутости. В этих терминах (позволяющих адаптировать к отображениям со значениями в (Y, d) классические условия накрывания, липшицевости и замкнутости отображений метрических пространств и ослабить такие условия) формулируется теорема о разрешимости включения F(x, x)∋ y и дается оценка отклонения в пространстве (X, ρ ) множества решений от заданного элемента x0 ∈X . Основными условиями полученного утверждения являются принадлежность при любом x из некоторого шара пары (x, y) множеству α -накрывания отображения F(·, x) и множеству β -липшицевости отображения F x, ∙, где α>β. Доказательство соответствующего утверждения основано на построении последовательностей { xn }⊂X и { yn }⊂Y , удовлетворяющих соотношениям y n ∈Fx n ,x n , y ∈Fx n +1 ,x n , αρ(x n +1 , x n )≤d(y , y n )≤βρ(x n , x n -1 ) . Также в статье получены достаточные условия устойчивости решений рассматриваемого включения к изменениям многозначного отображения F и элемента y .

метрика, расстояние, включение, существование решения, накрывающее многозначное отображение

1. А.В. Дмитрук, А.А. Милютин, Н.П. Осмоловский, “Теорема Люстерника и теория экстремума”, УМН, 35:6(216) (1980), 11-46.

2. А.В. Арутюнов, “Накрывающие отображения в метрических пространствах и неподвижные точки”, Доклады Академии наук, 416:2 (2007), 151-155.

3. A.V. Arutyunov, E.S. Zhukovskiy, S.E. Zhukovskiy, Z.T. Zhukovskaya, “Kantorovich’s Fixed Point Theorem and Coincidence Point Theorems for Mappings in Vector Metric Spaces”, Set-Valued Var. Anal., 2021.

4. B. Zhang, W. Ouyang, “Coincidence points for set-valued mappings with directional regularity”, Fixed Point Theory, 22:1 (2021), 391-406.

5. Ю.Н. Захарян, Т.Н. Фоменко, “О сохранении совпадений у однопараметрического семейства пар многозначных отображений типа Замфиреску”, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. мех., 2021, №1, 28-34.

6. Е.С. Жуковский, “О точках совпадения векторных отображений”, Изв. вузов. Матем., 2016, №10, 14-28.

7. A. Arutyunov, E. Avakov, B. Gel‘man, A. Dmitruk, V. Obukhovskii, “Locally covering maps in metric spaces and coincidence points”, J. Fixed Points Theory and Applications, 5:1 (2009), 105-127.

8. А.В. Арутюнов, “Устойчивость точек совпадения и свойства накрывающих отображений”, Матем. заметки, 86:2 (2009), 163-169.

9. A.V. Arutyunov, E.R. Avakov, S.E. Zhukovskiy, “Stability theorems for estimating the distance to a set of coincidence points”, SIAM Journal on Optimization, 25:2 (2015), 807-828.

10. Е.Р. Аваков, А.В. Арутюнов, Е.С. Жуковский, “Накрывающие отображения и их приложения к дифференциальным уравнениям, не разрешенным относительно производной”, Дифференциальные уравнения, 45:5 (2009), 613-634.

11. A.V. Arutyunov, E.S. Zhukovskiy, S.E. Zhukovskiy, “Covering mappings and well-posedness of nonlinear Volterra equations”, Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications, 75:3 (2012), 1026-1044.

12. А.В. Арутюнов, Е.С. Жуковский, С.Е. Жуковский, “О корректности дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной”, Дифференциальные уравнения, 47:11 (2011), 1523-1537.

13. Aram Arutyunov, Valeriano Antunes de Oliveira, Fernando Lobo Pereira, Evgeniy Zhukovskiy, Sergey Zhukovskiy, “On the solvability of implicit differential inclusions”, Applicable Analysis, 94:1 (2015), 129-143.

14. Е.С. Жуковский, Е.А. Плужникова, “Накрывающие отображения в произведении метрических пространств и краевые задачи для дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной”, Дифференциальные уравнения, 49:4 (2013), 439-455.

15. Е.С. Жуковский, “О возмущениях векторно накрывающих отображений и системах уравнений в метрических пространствах”, Сиб. матем. журн., 57:2 (2016), 297-311.

16. Е.С. Жуковский, “О точках совпадения многозначных векторных отображений метрических пространств”, Матем. заметки, 100:3 (2016), 344-362.

17. А.В. Арутюнов, А.В. Грешнов, “Теория -квазиметрических пространств и точки совпадения”, Докл. РАН., 469:5 (2016), 527-531.

18. Е.С. Жуковский, “Неподвижные точки сжимающих отображений -квазиметрических пространств”, Сиб. матем. журн., 59:6 (2018), 1338-1350.

19. Т.Н. Фоменко, “Существование нулей многозначных функционалов, совпадения и неподвижные точки в -квазиметрическом пространстве”, Матем. заметки., 110:4 (2021), 598-609.

20. Е.С. Жуковский, В. Мерчела, “О накрывающих отображениях в обобщенных метрических пространствах в исследовании неявных дифференциальных уравнений”, Уфимский матемтический журнал, 12:4 (2020), 42-55.

21. В. Мерчела, “К теореме Арутюнова о точках совпадения двух отображений метрических пространств”, Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки, 23:121 (2018), 65-73.

22. С. Бенараб, Е.С. Жуковский, В. Мерчела, “Теоремы о возмущениях накрывающих отображений в пространствах с расстоянием и в пространствах с бинарным отношением”, Тр. ИММ УрО РАН, 25, 2019, 52-63.

23. Т.В. Жуковская, В. Мерчела, А.И. Шиндяпин, “О точках совпадения отображений в обобщенных метрических пространствах”, Вестник российских университетов. Математика., 26:4 (2020), 52-63.

24. Е.О. Бурлаков, Т.В. Жуковская, Е.С. Жуковский, Н.П. Пучков, “Приложения накрывающих отображений в теории неявных дифференциальных уравнений”, Материалы IV Международной научной конференции "Актуальные проблемы прикладной математики". Кабардино-Балкарская республика, Нальчик, Приэльбрусье, 22-26 мая 2018 г. Часть I, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз., 165, ВИНИТИ РАН, М., 2019, 21-33.

25. А.В. Арутюнов, Е.С. Жуковский, С.Е. Жуковский, “О мощности множества точек совпадения отображений метрических, нормированных и частично упорядоченных пространств”, Матем. сб., 209:8 (2018), 3-28.