О некорректных задачах, экстремалях функционала Тихонова и регуляризованных принципах Лагранжа

Задача поиска нормального решения операторного уравнения первого рода на паре гильбертовых пространств является классической в теории некорректных задач. В соответствии с теорией регуляризации ее решения аппроксимируются экстремалями функционала Тихонова. С точки зрения теории задач на условный экстремум эквивалентной классической некорректной задаче является задача минимизации функционала, равного квадрату нормы элемента, с операторным (т. е. задаваемым оператором с бесконечномерным образом) ограничением-равенством. В статье обсуждается возможность регуляризации принципа Лагранжа (ПЛ) в указанной задаче на условный экстремум. Эта регуляризация представляет собою такую трансформацию ПЛ, которая превращает его в универсальное средство устойчивого решения некорректных задач в терминах обобщенных минимизирующих последовательностей (ОМП) и сохраняет основанное на конструкциях классической функции Лагранжа его «общее структурное устройство». Трансформированный ПЛ «содержит» классический аналог в качестве своего предельного варианта при стремлении номеров элементов ОМП к бесконечности. Обсуждаются как неитеративный, так и итеративный варианты регуляризации ПЛ. Каждый из них приводит к устойчивому генерированию ОМП в исходной задаче на условный экстремум из экстремалей регулярного функционала Лагранжа, взятого при значениях двойственной переменной, вырабатываемой соответствующей процедурой регуляризации двойственной задачи. В заключение статьи обсуждается взаимосвязь экстремалей функционалов Тихонова и Лагранжа в рассматриваемой классической некорректной задаче.

некорректная задача, линейное операторное уравнение, регуляризирующий алгоритм, метод регуляризации Тихонова, условная минимизация, операторное ограничение-равенство, правило множителей Лагранжа, обобщенная минимизирующая последовательность, итеративная регуляризация, двойственная регуляризация, регуляризованный принцип Лагранжа

1. А.Н. Тихонов, “О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации”, Доклады АН СССР, 151:3 (1963), 501-504.

2. А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин, Методы решения некорректных задач, Наука, М., 1974.

3. А.Н. Тихонов, А.В. Гончарский, В.В. Степанов, А.Г. Ягола, Регуляризирующие алгоритмы и априорная информация, Наука, М., 1983.

4. А.Б. Бакушинский, А.В. Гончарский, Некорректные задачи. Численные методы и приложения, Изд-во Моск. ун-та, М., 1989.

5. Е.Г. Гольштейн, Теория двойственности в математическом программировании и ее приложения, Наука, М., 1971. .

6. J. Warga, Optimal Control of Differential and Functional Equations, Academic Press, New York, 1972.

7. Ф.П. Васильев, Методы оптимизации: в 2-х кн., МЦНМО, М., 2011.

8. М.И. Сумин, “Регуляризованная параметрическая теорема Куна-Таккера в гильбертовом пространстве”, Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 51:9 (2011), 1594-1615.

9. М.И. Сумин, “Регуляризованные принцип Лагранжа и принцип максимума Понтрягина в оптимальном управлении и обратных задачах”, Тр. ИММ УрО РАН, 25, 2019, 279-296.

10. В.М. Алексеев, В.М. Тихомиров, С.В. Фомин, Оптимальное управление, Наука, М., 1979.

11. Е.Р. Аваков, Г.Г. Магарил-Ильяев, В.М. Тихомиров, “О принципе Лагранжа в задачах на экстремум при наличии ограничений”, Успехи матем. наук, 68:3(411) (2013), 5-38.

12. М.И. Сумин, “Недифференциальные теоремы Куна-Таккера в задачах на условный экстремум и субдифференциалы негладкого анализа”, Вестник российских университетов. Математика, 25:131 (2020), 307-330.

13. В.А. Треногин, Функциональный анализ, Наука, М., 1980.

14. J.-P. Aubin, L’analyse Non Lineaire Et Ses Motivations Economiques, Masson, Paris-New York, 1984.

15. P.D. Loewen, Optimal Control via Nonsmooth Analysis. V. 2, CRM Proceedings & Lecture Notes, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1993.

16. М.И. Сумин, “О регуляризации классических условий оптимальности в выпуклых задачах оптимального управления”, Тр. ИММ УрО РАН, 26, 2020, 252-269.

17. М.И. Сумин, “Регуляризация в линейно-выпуклой задаче математического программирования на основе теории двойственности”, Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 47:4 (2007), 602-625.

18. М.И. Сумин, “Регуляризованный градиентный двойственный метод решения обратной задачи финального наблюдения для параболического уравнения”, Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 44:11 (2004), 2001-2019.