Задача с нелокальным условием для уравнения четвертого порядка с кратными характеристиками

В статье рассмотрена нелокальная задача с интегральным условием для уравнения четвертого порядка. Доказана ее однозначная разрешимость. Доказательство единственности решения базируется на выведенных в работе априорных оценках. Для доказательства существования решения задача сведена к двум задачам Гурса для уравнений второго порядка и доказана эквивалентность поставленной задачи и полученной системы задач Гурса. Одна из задач системы является классической задачей Гурса. Вторая задача представляет собой характеристическую задачу для интегро-дифференциального уравнения с нелокальным интегральным условием на одной из характеристик. К исследованию этой задачи невозможно применить известные методы обоснования разрешимости задач с условиями на характеристиках. Введение новой неизвестной функции позволило свести вторую задачу к уравнению с вполне непрерывным оператором, убедиться на основании теоремы единственности в его разрешимости и, в силу доказанной эквивалентности задач, в разрешимости поставленной задачи.

нелокальная задача, уравнение четвертого порядка, интегральные условия, задача Гурса, нагруженное уравнение

1. G.B. Whitham, Linear and Nonlinear Waves, John Wiley & Sons, London, 1974.

2. J.S. Rao, Advanced Theory of Vibration, Wiley, New York, 1992.

3. A. Favini, S.A. Zagrebina, G.A. Sviridyuk, “Multipoint initial-final value problems for dynamical Sobolev-type equations in the space of noises”, EJDE, 2018:128 (2018), 1-10.

4. А.А. Замышляева, А.В. Юзеева, “Начально-конечная задача для уравнения Буссинеска-Лява”, Вестн. ЮУрГУ. Сер. Матем. моделирование и программирование, 2010, №5, 23-31.

5. Я.Т. Мегралиев, Ф.Х. Ализаде, “Обратная краевая задача для одного уравнения Буссинеска четвертого порядка с несамосопряженными краевыми и с дополнительными интегральными условиями”, Вестник ТвГУ. Серия: Прикладная математика, 2017, №2, 17-36.

6. Г.В. Намсараева, “Линейные обратные задачи для некоторых аналогов уравнения Буссинеска”, Математические заметки СВФУ, 21:2 (2014), 47-59.

7. L. Pulkina, “Solution to nonlocal problems of pseudohyperbolic equations”, EJDE, 2014:116 (2014), 1-49.

8. L.S. Pulkina, A.B. Beylin, “Nonlocal approach to problems on longitudinal vibration in a short bar”, EJDE, 2019:29 (2019), 1-9.

9. А.А. Алсыкова, “О разрешимости пространственно-нелокальных краевых задач для некоторых аналогов уравнения Буссинеска”, Математические заметки СВФУ, 23:1 (2016), 3-11.

10. Н.С. Попов, “О разрешимости краевых задач для многомерных псевдогиперболических уравнений с нелокальным граничным условием интегрального вида”, Математические заметки СВФУ, 21:2 (2014), 69-80.

11. Z.P. Bazant, M. Jirasek, “Nonlocal Integral Formulation of Plasticity And Damage: Survey of Progress”, American Society of Civil Engineers. Journal of Engineering Mechanics, 128:11 (2002), 1119-1149.

12. J.R. Cannon, “The solution of the heat equation subject to the specification of energy”, Quart. Appl. Math., 21:2 (1963), 155-160.

13. Л.И. Камынин, “Об одной краевой задаче теории теплопроводности с неклассическими граничными условиями”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 4:6 (1964), 1006-1024.

14. Н.И. Ионкин, “Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием”, Дифференц. уравнения, 13:2 (1977), 294-304.

15. А.А. Керефов, М.Х. Шхануков-Лафишев, Р.С. Кулиев, “Краевые задачи для нагруженного уравнения теплопроводности с нелокальными условиями типа Стеклова”, Неклассические уравнения математической физики, Труды семинара, посвященного 60-летию проф. В.Н. Врагова (Новосибирск, 3-5 октября 2005), Институт математики СО РАН, Новосибирск, 2005, 152-159.

16. А.И. Кожанов, “Об одной нелокальной краевой задаче с переменными коэффициентами для уравнений теплопроводности и Аллера”, Дифференц. уравнения, 40:6 (2004), 763-774.

17. Н.И. Иванчов, “Краевые задачи для параболического уравнения с интегральными условиями”, Дифференц. уравнения, 40:4 (2004), 547-564.

18. J.R. Cannon, J. van der Hoek, “The classical solution of the one-dimensional two-phase stefan problem with energy specification”, Annali di Matematica Pura ed Applicata, 130:1 (1982), 385-398.

19. J.R. Cannon, Y. Lin, “Determination of a parameter in some quasi-linear parabolic differential equations”, Inverse Problems, 4:1 (1988), 35-45.

20. В.Л. Камынин, “Обратная задача определения младшего коэффициента в параболическом уравнении при условии интегрального наблюдения”, Матем. заметки, 94:2 (2013), 207-217.

21. В.И. Жегалов, А.Н. Миронов, Е.А. Уткина, Уравнения с доминирующей частной производной, Казанский (Приволжский) федеральный университет, Казань, 2014, ISBN: 978-5-00019-305-1, 385 с.

22. В.И. Жегалов, “Об одной задаче для обобщенного уравнения Буссинеска-Лява”, Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 23:4 (2019), 771-776.

23. Е.А. Уткина, “О единственности решения задач с нормальными производными в граничных условиях для уравнения Буссинеска-Лява”, Изв. вузов. Матем., 2017, №7, 67-73.

24. Л.С. Пулькина, “Краевые задачи для гиперболического уравнения с нелокальными условиями I и II рода”, Изв. вузов. Матем., 2012, №4, 74-83.

25. А.И. Кожанов, Л.С. Пулькина, “О разрешимости краевых задач с нелокальным граничным условием интегрального вида для многомерных гиперболических уравнений”, Дифференц. уравнения, 42:9 (2006), 1166-1179.

26. А.И. Кожанов, А.В. Дюжева, “Нелокальные задачи с интегральным смещением для параболических уравнений высокого порядка”, Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика, 36 (2021), 14-28.

27. А.И. Кожанов, А.В. Дюжева, “Вторая начально-краевая задача с интегральным смещением для гиперболических и параболических уравнений второго порядка”, Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 25:3 (2021), 423-434.

28. Л. Гординг, Задача Коши для гиперболических уравнений, Издательство иностранной литературы, М., 1961.