О свойствах решений дифференциальных систем, моделирующих электрическую активность головного мозга

Исследуется модель типа Хопфилда динамики электрической активности головного мозга, представляющая собой систему дифференциальных уравнений вида v i =-αv i +j=1 nw jif δ v j +I it , i= 1,n , t≥0. Параметры модели считаются заданными: α>0, w ji >0 при i≠j и w ii =0, I i (t)≥0. Функция активации f δ ( δ - время перехода нейрона в состояние активности) рассмотрена двух типов: δ=0⟹f 0v = 0, v≤θ, 1, v>θ; δ>0⟹ f δ v = 0,v≤θ, δ -1 v-θ ,θ<v≤θ+δ, 1,v="">θ+δ. В случае δ >0 (функция f δ непрерывна) решение задачи Коши для рассматриваемой системы существует, единственно и является неотрицательным при неотрицательных начальных значениях. В случае δ =0 (функция f 0 разрывна в точке θ ) показано, что во множестве решений задачи Коши есть наибольшее и наименьшее решения, получены оценки решений и приведен пример системы, для которой задача Коши имеет бесконечное множество решений. В этом исследовании используются методы анализа отображений частично упорядоченных пространств. Также исследуется уточненная модель Хопфилда, в которой учитывается время движения электрического импульса от одного нейрона к другому, и поэтому модель представляет собой систему дифференциальных уравнений с запаздыванием. Для такой системы и в случае непрерывной, и в случае разрывной функции активации показано, что задача Коши однозначно разрешима, получены оценки решения и описан алгоритм аналитического нахождения решения.</v≤θ+δ,>

нейронная сеть, дифференциальное уравнение с разрывной правой частью, запаздывание, задача Коши, существование решения, верхнее и нижнее решения, отображения частично упорядоченных пространств

1. J.J. Hopfield, “Neural networks and physical systems with emergent collective computational properties”, Proc. Nat. Acad. Sci., 79 (1982), 2554-2558.

2. В.Л. Быков, Цитология и общая гистология, Сотис, Санкт-Петербург, 2018.

3. P. Van den Driesche, X. Zou, “Global attractivity in delayed Hopfield neural network models”, SIAM J. Appl. Math., 58 (1998), 1878-1890.

4. А.С. Ланина, Е.А. Плужникова, “Об одной модели электрической активности головного мозга”, Моделирование и оптимизация сложных систем MOCS-2022, Тезисы докладов Международной школы молодых ученых (Суздаль, 30 июня - 5 июля), Аркаим, Владимир, 2022, 31-32.

5. C.R. Laing, W. Troy, “Two-bump solutions of Amari-type models of neuronal pattern formation”, Physica D., 178 (2003), 190-218.

6. M.R. Owen, C.R. Laing, S. Coombes, “Bumps and rings in a two-dimensional neural field: splitting and rotational instabilities”, New J. Phys., 9 (2007), 378.

7. P. Blomquist, J. Wyller, G.T. Einevoll, “Localized activity patterns in two-population neuronal networks”, Physica D., 206 (2005), 180-212.

8. A. Oleynik, A. Ponosov, J. Wyller, “On the properties of nonlinear nonlocal operators arising in neural field models”, J. Math. Anal. Appl., 398 (2013), 335-351.

9. S. Coombes, M.R. Owen, “Evans functions for integral neural field equations with Heaviside firing rate function”, SIAM J. Appl. Dyn. Syst., 4 (2004), 574-600.

10. Е.О. Бурлаков, М.А. Насонкина, “О связи непрерывных и разрывных моделей нейронных полей с микроструктурой: I. Общая теория”, Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки, 23:121 (2018), 17-30.

11. Е.О. Бурлаков, И.Н. Мальков, “О связи непрерывных и разрывных моделей нейронных полей с микроструктурой: II. Радиально симметричные стационарные решения в 2D («бампы»)”, Вестник российских университетов. Математика, 25:129 (2020), 6-17.

12. Е.С. Жуковский, “Неравенства Вольтерра в функциональных пространствах”, Матем. сб., 195:9 (2004), 3-18.

13. Е.С. Жуковский, “Об упорядоченно накрывающих отображениях и неявных дифференциальных неравенствах”, Дифференциальные уравнения, 52:12 (2016), 1610-1627.

14. E.O. Burlakov, E.S. Zhukovskiy, “On absrtact Volterra equations in partially ordered spaces and their applications”, Mathematical Analysis With Applications, International Conference in Honor of the 90th Birthday of Constantin Corduneanu. CONCORD-90 (Ekaterinburg, Russia, July 2018), Springer Proceedings in Mathematics & Statistics, 318, eds. S. Pinelas, A. Kim, V. Vlasov, Springer, Switzerland, 2020, 3-11.

15. С. Бенараб, З.Т. Жуковская, Е.С. Жуковский, С.Е. Жуковский, “О функциональных и дифференциальных неравенствах и их приложениях к задачам управления”, Дифференциальные уравнения, 56:11 (2020), 1471-1482.

16. А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин, Элементы теории функций и функционального анализа, 5-е изд., Физматлит, М., 2019.

17. A.V. Arutyunov, E.S. Zhukovskiy, S.E. Zhukovskiy, “Coincidence points principle for mappings in partially ordered spaces”, Topology and its Applications, 179:1 (2015), 13-33.

18. М.А. Красносельский, П.П. Забрейко, Геометрические методы нелинейного анализа, Наука, М., 1975.

19. Л.А. Люстерник, В.И. Соболев, Краткий курс функционального анализа, Высшая школа, М., 1982.

20. Е.С. Жуковский, “Непрерывная зависимость от параметров решений уравнений Вольтерра”, Матем. сб., 197:10 (2006), 33-56.