О существовании непрерывных селекций многозначного отображения, связанного с задачей минимизации функционала

Рассматривается параметрическая задача вида f(x,y)→ inf, x∈M , где M - выпуклое замкнутое подмножество гильбертова или равномерно выпуклого пространства X , a y - параметр, принадлежащий топологическому пространству Y . Для этой задачи определено множество ϵ-оптимальных точек: a ϵy =x∈M|f(x, y)≤ infx∈M fx, y+ϵ , где ϵ>0 . Обсуждаются условия полунепрерывности и непрерывности многозначного отображения a ϵ . С использованием методов проекции градиентов и линеаризации получены теоремы о существовании непрерывных селекций многозначного отображения a ϵ . Одними из основных предположений этих теорем являются выпуклость функционала f(x,y) по переменной x на множестве M и непрерывность производной fx ' (x,y) на множестве M×Y . Приводятся примеры, подтверждающие существенность принятых предположений, а также примеры, иллюстрирующие применение полученных утверждений к оптимизационным задачам.

строго выпуклые функции, оператор проектирования, неподвижные точки отображения, многозначное отображение, непрерывные селекции, множество ϵ-оптимальных точек

1. F. Bonnans, A. Shapiro, “Optimization problems with perturbations: a guided tour”, SIAM Rev., 40:2 (1998), 228-264.

2. А.В. Арутюнов, Лекции по выпуклому и многозначному анализу, Физматлит, М., 2014.

3. E. Michael, “Continuous selections 1”, Annals of Mathematics, 63:2 (1956), 361-382.

4. Дж. Варга, Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями, Наука, М., 1977.

5. П.-Ж. Лоран, Аппроксимация и оптимизация, Мир, М., 1975, 496 с.

6. Ж.-П. Обен, И. Экланд, Прикладной нелинейный анализ, Мир, М., 1988, 512 с.

7. R.T. Rockafellar, Roger J.B. Wets, Variational Analysis, Springer Berlin, Heidelberg, Berlin, 2009.

8. Р.А. Хачатрян, “Метод проекции градиентов и непрерывные селекции многозначных отображений”, Вестник евразийского национального университета имении Л.Н. Гумилева. Серия математика, информатика, механика, 2018, №(3)124, 95-100.

9. В.И. Бердышев, “Непрерывность многозначного отображения, связанного с задачей минимизации функционала”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 44:3 (1980), 483-509.

10. А.В. Архангельский, “Паракомпактность и метризация. Метод покрытий в классификации пространств”, Общая топология - 3, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 51, ВИНИТИ, М., 1989, 5-80.

11. Б.Н. Пшеничный, Метод линеаризации, Наука, М., 1983, 136 с.

12. A.Г. Сухарев, А.Г. Тимохов, В.В. Федоров, Курс методов оптимизации, Наука, М., 1986.

13. В.А. Треногин, Функциональный анализ, Наука, М., 1980.

14. В.Н. Малоземов, “Удивительное свойство выпуклых функций”, Конструктивный негладкий анализ и смежные вопросы, Избранные доклады Международной конференции «Конструктивный негладкий анализ и смежные вопросы», посвященной памяти профессора В.Ф. Демьянова (Санкт-Петербург, 22-27 мая 2017), Международный математический институт им. Леонарда Эйлера, Санкт-Петербург, 2017.