О существовании и устойчивости решений типа «кольцо» уравнений нейронного поля Амари с периодической микроструктурой и функцией активации Хевисайда

В работе изучены существование и устойчивость решений типа «кольцо» двумерного уравнения нейронного поля Амари с периодической микроструктурой и функцией активации типа Хевисайда. Получены результаты, отражающие зависимость внутреннего и внешнего радиусов колец от порога активации нейронной среды и степени ее неоднородности. Сформулированы необходимое условие существования и достаточное условие отсутствия радиально распространяющихся из эпицентра бегущих волн, как в однородной нейронной среде, так и при слабо выраженной микроструктуре нейронной среды. Результаты исследования проиллюстрированы примером, основанном на выборе одной из типично используемых в математической нейробиологии функций межнейронной связи.

математическая нейробиология, уравнения нейронных полей с микроструктурой, двумерное уравнение нейронного поля, решение типа «кольцо», существование решений, устойчивость решений, радиальные бегущие волны

1. P. Bressloff, “Spatiotemporal dynamics of continuum neural fields”, Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, 45:3 (2011), 033001.

2. E.O. Burlakov, T.V. Zhukovskaya, E.S. Zhukovskiy, N.P. Puchkov, “On continuous and discontinuous models of neural fields”, Journal of Mathematical Sciences, 259:3 (2021), 272–282.

3. S. Amari, “Dynamics of pattern formation in lateral-inhibition type neural fields”, Biological Cybernetics, 27 (1977), 77–87.

4. S. Kishimoto, S. Amari, “Existence and stability of local excitations in homogeneous neural fields”, Journal of Mathematical Biology, 7 (1979), 303–318.

5. C.R. Laing, W.C. Troy, “Two-bump solutions of Amari-type models of neuronal pattern formation”, Physica D: Nonlinear Phenomena, 178 (2003), 190–218.

6. K. Kolodina, V.V. Kostrykin, A. Oleynik, “Existence and stability of periodic solutions in a neural field equation”, Russian Universities Reports. Mathematics, 26:135 (2021), 271–295.

7. S. Coombes, “Waves, bumps, and patterns in neural field theories”, Biological Cybernetics, 93 (2005), 91–108.

8. M.R. Owen, C.R. Laing, S. Coombes, “Bumps and rings in a two-dimensional neural field: splitting and rotational instabilities”, New Journal of Physics, 9 (2007), 378.

9. N. Svanstedt, J. Wyller, E. Malyutina, “A one-population Amari model with periodic microstructure”, Nonlinearity, 27 (2014), 1391–1417.

10. E. Malyutina, J. Wyller, A. Ponosov, “Two bumps solutions of a homogenized Wilson-Cowan model with periodic microstructure”, Physica D: Nonlinear Phenomena, 271 (2014), 19–31.

11. E. Burlakov, J. Wyller, A. Ponosov, “Two-dimensional Amari neural field model with periodic microstructure: Rotationally symmetric bump solutions”, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 32 (2016), 81–88.

12. Е.О. Бурлаков, И.Н. Мальков, “О связи непрерывных и разрывных моделей нейронных полей с микроструктурой: II. Радиально симметричные стационарные решения в 2D («бампы»)”, Вестник российских университетов. Математика, 25:129 (2020), 6–17. [E.O. Burlakov, I.N. Malkov, “On connection between continuous and discontinuous neural field models with microstructure: II. Radially symmetric stationary solutions in 2D (“bumps”)”, Russian Universities Reports. Mathematics, 25:129 (2020), 6–17 (In Russian)].

13. J.A. Murdock, F. Botelho, J.E. Jamison, “Persistence of spatial patterns produced by neural field equations”, Physica D: Nonlinear Phenomena, 215 (2006), 106–116.

14. E. Burlakov, V. Verkhlyutov, V. Ushakov, “A simple human brain model reproducing evoked MEG based on neural field theory”, Advances in Neural Computation, Machine Learning, and Cognitive Research V, Studies in Computational Intelligence, 1008, ed. B. Kryzhanovsky, W. Dunin–Barkowski, V. Redko, Y. Tiumentsev, 2021, 109–116.