О наилучшем приближении и значениях поперечников некоторых классов функций в весовом пространстве Бергмана

В статье рассматривается экстремальная задача нахождения точных констант $\chi_{m,n,r}(\tau)$ в неравенствах типа Джексона--Стечкина, связывающих наилучшие приближения аналитических в единичном круге $U=\{z: |z|<1\}$ функций алгебраическими комплексными полиномами и усредненными значениями модулей непрерывности высших порядков $r$-ых производных функций в весовом пространстве Бергмана $B_{2,\gamma}.$ Введены классы аналитических в единичном круге функций $W_{m}^{(r)}(\tau)$ и $W_{m}^{(r)}(\tau,\Phi),$ которые удовлетворяют определенным условиям. Для введенных классов функций вычислены точные значения некоторых известных $n$-поперечников. В работе используются методы решения экстремальных задач в нормированных пространствах аналитических в круге функций и разработанный В.М. Тихомировым метод оценки снизу $n$-поперечников функциональных классов в различных банаховых пространствах. Полученные в работе результаты являются обобщением и распространением на случай аналитических в единичном круге функций, принадлежащих весовому пространству Бергмана, результатов работ С.Б. Вакарчука и А.Н. Щитова, полученных для классов дифференцируемых периодических функций.

аналитическая функция, алгебраический комплексный полином, наилучшее приближение, модуль непрерывности высших порядков, весовое пространство Бергмана

1. К.И. Бабенко, “О наилучших приближениях одного класса аналитических функций”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 22:5 (1958), 631–640. [K.I. Babenko, “Best approximations to a class of analytic functions”, Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., 22:5 (1958), 631–640 (In Russian)].

2. В.М. Тихомиров, “Поперечники множеств в функциональных пространствах и теория наилучших приближений”, УМН, 15:3(93) (1960), 81–120; англ. пер.: V.M. Tikhomirov, “Diameters of sets in function spaces and the theory of best approximations”, Russian Math. Surveys, 15:3 (1960), 75–111.

3. Л.В. Тайков, “О наилучшем приближении в среднем некоторых классов аналитических функций”, Матем. заметки, 1:2 (1967), 155–162; англ. пер.: L.V. Taikov, “On the best approximation in the mean of certain classes of analytic functions”, Math. Notes, 1:2 (1967), 104–109.

4. М.З. Двейрин, “Поперечники и ε-энтропия классов функций, аналитических в единичном круге”, Теория функций, функциональный анализ и прил, 23 (1975), 32–46. [M.Z. Dveyrin, “Widths and ε-entropy of classes of functions that are analytic in the unit circle of functions”, Function Theory, Functional Analysis and their Applications, 23 (1975), 32–46 (In Russian)].

5. Н. Айнуллоев, Л.В. Тайков, “Наилучшее приближение в смысле А.Н. Колмогорова классов аналитических в единичном круге функций”, Матем. заметки, 40:3 (1986), 341–351; англ. пер.: N. Ainulloev, L.V. Taikov, “Best approximation in the sense of Kolmogorov of classes of functions analytic in the unit disc”, Math. Notes, 40:3 (1986), 699–705.

6. Ю.А. Фарков, “Поперечники классов Харди и Бергмана в шаре из C_n”, УМН, 45:5 (1990), 197–198; англ. пер.: Yu.A. Farkov, “Widths of Hardy classes and Bergman classes on the ball in C_n”, Russian Math. Surveys, 45:5 (1990), 229–231.

7. С.Б. Вакарчук, “Точные значения поперечников классов аналитических в круге функций и наилучшие линейные методы приближения”, Матем. заметки, 72:5 (2002), 665–669; англ. пер.: S.B. Vakarchuk, “Exact values of widths of classes of analytic functions on the disk and best linear approximation methods”, Math. Notes, 72:5 (2002), 615–619.

8. С.Б. Вакарчук, “О некоторых экстремальных задачах теории приближений в комплексной плоскости”, Укр. матем. журн., 56:9 (2004), 1155–1171; англ. пер.: S.B. Vakarchuk, “Exact values of widths of classes of analytic functions on the disk and best linear approximation methods”, Ukrainian Math. J., 56:9 (2004), 1371–1390.

9. М.Ш. Шабозов, Г.А. Юсупов, Дж.Дж. Заргаров, “O наилучшей совместной полиномиальной аппроксимации функций и их производных в пространстве Харди”, Тр. ИММ УрО РАН, 27, №4, 2021, 239–254. [M.Sh. Shabozov, G.A. Yusupov, J.J Zargarov, “On the best simultaneous polynomial approximation of functions and their derivatives in Hardy spaces”, Trudy Inst. Mat. i Mekh. UrO RAN, 27, no. 4, 2021, 239–254 (In Russian)].

10. М.Ш. Шабозов, О.Ш. Шабозов, “О наилучшем приближении некоторых классов аналитических функций в весовых пространствах Бергмана B_(2,γ)”, Доклады Академии наук, 412:4 (2007), 466–469; англ. пер.: M.Sh. Shabozov, O.Sh. Shabozov, “On the best approximation of some classes of analytic functions in weighted Bergman spaces”, Doklady Mathematics, 75:1 (2007), 97–100.

11. С.Б. Вакарчук, М.Ш. Шабозов, “О поперечниках классов функций, аналитических в круге”, Матем. сб., 201:8 (2010), 3–21; англ. пер.: S.B. Vakarchuk, M.Sh. Shabozov, “The widths of classes of analytic functions in a disc”, Sbornik Mathematics, 201:8 (2010), 1091–1110.

12. М.Ш. Шабозов, М.Р. Лангаршоев, “О наилучших линейных методах приближения некоторых классов аналитических в единичном круге функций”, Сиб. матем. журн., 60:6 (2019), 1414–1423; англ. пер.: M.Sh. Shabozov, M.R. Langarshoev, “Best linear approximation methods for some classes of analytic functions on the unit disk”, Siberian Mathematical Journal, 60:6 (2019), 1101–1108.

13. М.Р. Лангаршоев, “Неравенства типа Джексона-Стечкина и поперечники классов функций в весовом пространстве Бергмана”, Чебышевский сб., 22:2 (2021), 135–144. [M.R. Langarshoev, “Jackson-Stechkin type inequalities and widths of classes of functions in the weighted Bergman space”, Chebyshevskii Sb., 22:2 (2021), 135–144 (In Russian)].

14. М.Ш. Шабозов, М.С. Саидусайнов, “Приближение функций комплексного переменного суммами Фурье по ортогональным системам в L_2”, Изв. вузов. Матем., 64:6 (2020), 65–72; англ. пер.: M.Sh. Shabozov, M.S. Saidusaynov, “Approximation of functions of a complex variable by Fourier sums in orthogonal systems in L_2”, Russian Mathematics (Izvestiya VUZ. Matematika), 64:6 (2020), 56–62.

15. В.М. Тихомиров, Некоторые вопросы теории приближений, МГУ, М., 1976. [V.M. Tikhomirov, Some Questions of Approximation Theory, Moscow State University Publ., Moscow, 1976 (In Russian)].

16. В.В. Шалаев, “О поперечниках в L_2 классов дифференцируемых функций, определяемых модулями непрерывности высших порядков”, Укр. матем. журн., 43:1 (1991), 125–129; англ. пер.: V.V. Shalaev, “Widths in L_2 classes of differentiable functions that can be determined by higher-order moduli of continuity”, Ukrainian Math. J., 43:1 (1991), 104–107.

17. С.Б. Вакарчук, А.Н. Щитов, “Наилучшие полиномиальные приближения в L_2 и поперечники некоторых классов функций”, Укр. матем. журн., 56:11 (2004), 1458–1466; англ. пер.: S.B. Vakarchuk, A.N. Shchitov, “The best polynomial approximations in L_2 and widths of some classes of functions”, Ukrainian Math. J., 56:11 (2004), 1738–1747.