О регуляризации недифференциальной теоремы Куна-Таккера в нелинейной задаче на условный экстремум

Рассматривается регулярная параметрическая нелинейная (невыпуклая) задача на условный экстремум с операторным ограничением-равенством и конечным числом функциональных ограничений-неравенств. Ограничения задачи содержат аддитивно входящие в них параметры, что позволяет применять для ее исследования аппарат «нелинейного» метода возмущений. Множество допустимых элементов задачи представляет собою полное метрическое пространство, а сама она может и не иметь решения. Регулярность задачи понимается в смысле существования у нее обобщенного вектора Куна-Таккера. В рамках идеологии метода множителей Лагранжа формулируется и доказывается регуляризованная недифференциальная теорема Куна–Таккера, основным предназначением которой является устойчивое генерирование обобщенных минимизирующих последовательностей в рассматриваемой задаче. Эти минимизирующие последовательности конструируются из субминималей (минималей) модифицированной функции Лагранжа, взятой при значениях двойственной переменной, вырабатываемых соответствующей процедурой регуляризации двойственной задачи. Конструкция модифицированной функции Лагранжа является прямым следствием субдифферециальных свойств полунепрерывной снизу и вообще говоря невыпуклой функции значений как функции параметров задачи. Регуляризованная теорема Куна-Таккера «преодолевает» свойства неустойчивости своего классического аналога, является регуляризирующим алгоритмом и служит теоретической основой для создания алгоритмов практического решения задач на условный экстремум.

условный экстремум, нелинейная параметрическая задача, операторное ограничение, недифференциальная теорема Куна-Таккера, метод возмущений, функция значений, проксимальный субградиент, некорректная задача, двойственная регуляризация, обобщенная минимизирующая последовательность, модифицированная функция Лагранжа

1. В.М. Алексеев, В.М. Тихомиров, С.В. Фомин, Оптимальное управление, Наука, М., 1979; англ. пер.: V.M. Alekseev, V.M. Tikhomirov, S.V. Fomin, Optimal Control, Plenum Press, New York, 1987.

2. Ф.П. Васильев, Методы оптимизации: в 2-х кн., МЦНМО, М., 2011. [F.P. Vasil’ev, Optimization methods: in 2 books, MCCME, Moscow, 2011 (In Russian)].

3. М.И. Сумин, “Регуляризованная параметрическая теорема Куна-Таккера в гильбертовом пространстве”, Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 51:9 (2011), 1594–1615; англ. пер.: M.I. Sumin, “Regularized parametric Kuhn-Tucker theorem in a Hilbert space”, Comput. Math. Math. Phys., 51:9 (2011), 1489–1509.

4. М.И. Сумин, “Регуляризованные принцип Лагранжа и принцип максимума Понтрягина в оптимальном управлении и обратных задачах”, Тр. ИММ УрО РАН, 25, №1, 2019, 279–296. [M.I. Sumin, “Regularized Lagrange principle and Pontryagin maximum principle in optimal control and in inverse problems”, Trudy Inst. Mat. Mekh. UrO RAN, 25 (2019), 279–296 (In Russian)].

5. М.И. Сумин, “О некорректных задачах, экстремалях функционала Тихонова и регуляризованных принципах Лагранжа”, Вестник российских университетов. Математика, 27:137 (2022), 58–79. [M.I. Sumin, “On ill-posed problems, extremals of the Tikhonov functional and the regularized Lagrange principles”, Russian Universities Reports. Mathematics, 27:137 (2022), 58–79 (In Russian)].

6. А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин, Методы решения некорректных задач, Наука, М., 1974; англ. пер.: A.N. Tikhonov, V.Ya. Arsenin, Solutions of Ill-Posed Problems, Winston; Halsted Press, Washington; New York, 1977.

7. А.Н. Тихонов, А.С. Леонов, А.Г. Ягола, Нелинейные некорректные задачи, Наука, М., 1995; англ. пер.: A.N. Tikhonov, A.S. Leonov, A.G. Yagola, Nonlinear Ill-Posed Problems, Taylor and Francis, London, 1998.

8. М.И. Сумин, “Регуляризация в линейно-выпуклой задаче математического программирования на основе теории двойственности”, Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 47:4 (2007), 602–625; англ. пер.: M.I. Sumin, “Duality-based regularization in a linear convex mathematical programming problem”, Comput. Math. Math. Phys., 47:4 (2007), 579–600.

9. М.И. Сумин, “Регуляризованный двойственный метод решения нелинейной задачи математического программирования”, Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 47:5 (2007), 796–816; англ. пер.: M.I. Sumin, “Duality-based regularization in a linear convex mathematical programming problem”, Comput. Math. Math. Phys., 47:5 (2007), 760–779.

10. Е.Г. Гольштейн, Теория двойственности в математическом программировании и ее приложения, Наука, М., 1971. [E.G. Golshtein, Duality Theory in Mathematical Programming and its Applications, Nauka Publ., Moscow, 1971 (In Russian)].

11. J. Warga, Optimal Control of Differential and Functional Equations, Academic Press, New York, 1972.

12. М.И. Сумин, “Недифференциальные теоремы Куна-Таккера в задачах на условный экстремум и субдифференциалы негладкого анализа”, Вестник российских университетов. Математика, 25:131 (2020), 307–330. [M.I. Sumin, “Nondifferential Kuhn-Tucker theorems in constrained extremum problems via subdifferentials of nonsmooth analysis”, Russian Universities Reports. Mathematics, 25:131 (2020), 307–330 (In Russian)].

13. А.В. Канатов, М.И. Сумин, “Секвенциальная устойчивая теорема Куна-Таккера в нелинейном программировании”, Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 53:8 (2013), 1249–1271; англ. пер.: A.V. Kanatov, M.I. Sumin, “Sequential stable Kuhn-Tucker theorem in nonlinear programming”, Comput. Math. Math. Phys., 53:8 (2013), 1078–1098.

14. М.И. Сумин, “Устойчивая секвенциальная теорема Куна-Таккера в итерационной форме или регуляризованный алгоритм Удзавы в регулярной задаче нелинейного программирования”, Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 55:6 (2015), 947–977; англ. пер.: M.I. Sumin, “Stable sequential Kuhn-Tucker theorem in iterative form or a regularized Uzawa algorithm in a regular nonlinear programming problem”, Comput. Math. Math. Phys., 55:6 (2015), 935–961.

15. P.D. Loewen, Optimal Control via Nonsmooth Analysis. V. 2, CRM Proceedings & Lecture Notes, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1993.

16. F.H. Clarke, Yu.S. Ledyaev, R.J. Stern, P.R. Wolenski, Nonsmooth Analysis and Control theory. V. 178, Graduate texts in mathematics, Springer-Verlag, New York, 1998.

17. Д. Бертсекас, Условная оптимизация и методы множителей Лагранжа, 1-е изд., Радио и связь, М., 1987; англ. ориг.: D.-P. Bertsekas, Constrained Optimization and Lagrange Multiplier Methods, Academic Press, New York-London-Paris-San Diego-San Francisco-Sao Paulo-Sydney-Tokyo-Toronto, 1982.

18. Е.Г. Гольштейн, Н.В. Третьяков, Модифицированные функции Лагранжа. Теория и методы оптимизации, Наука, М., 1989. [E.G. Golshtein, N.V. Tret’yakov, Modified Lagrange Functions. Theory and Methods of Optimization, Nauka Publ., Moscow, 1989 (In Russian)].

19. М.И. Сумин, “О регуляризации классических условий оптимальности в выпуклых задачах оптимального управления”, Тр. ИММ УрО РАН, 26, №2, 2020, 252–269. [M.I. Sumin, “On the regularization of the classical optimality conditions in convex optimal control problems”, Trudy Inst. Mat. i Mekh. UrO RAN, 26, no. 2, 2020, 252–269 (In Russian)].

20. М.И. Сумин, “Метод возмущений, субдифференциалы негладкого анализа и регуляризация правила множителей Лагранжа в нелинейном оптимальном управлении”, Тр. ИММ УрО РАН, 28, №3, 2022, 202–221. [M.I. Sumin, “Perturbation method, subdifferentials of nonsmooth analysis, and regularization of the Lagrange multiplier rule in nonlinear optimal control”, Trudy Inst. Mat. i Mekh. UrO RAN, 28, no. 3, 2022, 202–221 (In Russian)].

21. В.А. Треногин, Функциональный анализ, Наука, М., 1980. [V.A. Trenogin, Functional Analysis, Nauka Publ., Moscow, 1980 (In Russian)].

22. I. Ekeland, “On the variational principle”, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 47:2 (1974), 324–353.

23. Ж.-П. Обен, Нелинейный анализ и его экономические приложения, Мир, М., 1988; франц. ориг.: J.-P. Aubin, L’analyse non Lineaire et ses Motivations Economiques, Masson, Paris-New York, 1984.