О дискретной краевой задаче в четверти плоскости

Мы изучаем разрешимость дискретного аналога модельного псевдодифференциального уравнения в четверти плоскости в дискретных пространствах Соболева-Слободецкого. Используя понятие периодической волновой факторизации для эллиптического периодического символа, мы описываем условия разрешимости этого уравнения и одной связанной с ним краевой задачи. В частности, для определенных значений индекса периодической волновой факторизации получена формула общего решения модельного дискретного псевдодифференциального уравнения, в котором содержатся некоторые произвольные функции. Для их однозначного определения вводятся дополнительные условия – дискретный аналог интегральных условий на сторонах угла. Доказана теорема существования и единственности полученной дискретной краевой задачи и получены априорные оценки решения. Дается также сравнение дискретных и непрерывных решений краевых задач при специального выбора дискретных объектов.

эллиптический символ, обратимость, дискретный псевдодифференциальный оператор, дискретное уравнение, периодическая волновая факторизация

1. А.А. Самарский, Теория разностных систем, Наука, М., 1977.

2. В.С. Рябенький, Методы разностных потенциалов и его приложения, Физматлит, М., 2010.

3. A. Vasilyev, V. Vasilyev, “Pseudo-differential operators and equations in a discrete half-space”, Mathematical Modelling and Analysis, 23:3 (2018), 492–506.

4. В.С. Владимиров, Обобщенные функции в математической физике, Наука, М., 1978.

5. A. Vasilyev, V. Vasilyev, “Discrete singular operators and equations in a half-space”, Azerbaijan Journal of Mathematics, 3:1 (2013), 84–93.

6. Г.И. Эскин, Краевые задачи для эллиптических псевдодифференциальных уравнений, Наука, М., 1973.

7. Ф.Д. Гахов, Краевые задачи, 3-е изд., Наука, М., 1977.

8. Н.И. Мусхелишвили, Сингулярные интегральные уравнения, 3-е изд., Наука, М., 1968.

9. V.B. Vasil’ev, Wave Factorization of Elliptic Symbols: Theory and Applications, Kluwer Academic Publ., Dordrecht–Boston–London, 2000.

10. V. Vasilyev, “The periodic Cauchy kernel, the periodic Bochner kernel, discrete pseudodifferential operators”, AIP Conference Proceedings, Proceedings of the International Conference on Numerical Analysis and Applications (ICNAAM-2016) (Rhodes, Greece, September 19–25), 1863, AIP Publishing, New York, 2017, 140014.

11. V. Vasilyev, “Discrete equations and periodic wave factorization”, AIP Conference Proceedings, Proceedings of the Third International Conference on Analysis and Applied Mathematics (ICAAM 2016) (Almaty, Kazakhstan, September 7–10), 1759, AIP Publishing, New York, 2016, 020126.

12. V. Vasilyev, “On discrete boundary value problems”, AIP Conference Proceedings, Proceedings of the International Conference “Functional Analysis in Interdisciplinary Applications” (FAIA2017) (Astana, Kazakhstan, October 2–5), 1880, AIP Publishing, New York, 2017, 050010.

13. V. B. Vasilyev, “Discreteness, periodicity, holomorphy, and factorization”, Integral Methods in Science and Engineering. V. 1: Theoretical Technique, eds. C. Constanda, M. Dalla Riva, P.D. Lamberti, P. Musolino, Springer International Publ., New York, 2017, 315–324.

14. V. B. Vasil’ev, “On Some new boundary-value problems in nonsmooth domains”, Journal of Mathematical Sciences, 173:2 (2011), 225–230.