Об одной некорректно поставленной краевой задаче для уравнения Лапласа в круговом цилиндре

В работе рассматривается смешанная задача для уравнения Лапласа в области в круговом цилиндре. На боковой поверхности цилидрической области заданы однородные краевые условия первого рода. Цилиндрическую область с одной стороны ограничивает поверхность общего вида, на которой заданы условия Коши, т. е. заданы функция и ее нормальная производная. Другая граница цилиндрической области свободна. Такая задача некорректно поставлена, и для построения ее приближенного решения в случае данных Коши, известных с некоторой погрешностью, необходимо применение регуляризирующих алгоритмов. В работе рассматриваемая задача сведена к интегральному уравнению Фредгольма первого рода. На основе решения интегрального уравнения получено явное представление точного решения поставленной задачи в виде ряда Фурье по собственным функциям первой краевой задачи для уравнения Лапласа в круге. Устойчивое решение интегрального уравнения получено методом регуляризации Тихонова. В качестве его приближенного решения рассматривается экстремаль функционала Тихонова. На основе этого решения строится приближенное решение задачи в целом. Приведена теорема сходимости приближенного решения поставленной задачи к точному при стремлении к нулю погрешности в данных Коши и при согласовании параметра регуляризации с погрешностью в данных. Результаты работы могут быть использованы для математической обработки данных тепловидения в медицинской диагностике.

некорректно поставленная задача, уравнение Лапласа, функции Бесселя, интегральное уравнение первого рода, метод регуляризации Тихонова

1. Е. Б. Ланеев, Б. Васудеван, “Об устойчивом решении одной смешанной задачи для уравнения Лапласа”, Вестник РУДН. Серия Прикладная математика и информатика, 1999, № 1, 128–133.

2. Е. Б. Ланеев, “О построении функции Карлемана на основе метода регуляризации Тихонова в некорректно поставленной задаче для уравнения Лапласа”, Дифференциальные уравнения, 54:4 (2018), 483–491.

3. А. Н. Тихонов, В. Я. Арсенин, Методы решения некорректных задач, Наука, М., 1979.

4. А. Н. Тихонов, В. Б. Гласко, О. К. Литвиненко, В.Р. Мелихов, “О продолжении потенциала в сторону возмущающих масс на основе метода регуляризации”, Изв. АН СССР. Физика Земли, 1968, № 1, 30–48.

5. Е. Б. Ланеев, М. Н. Муратов, “Об одной обратной задаче к краевой задаче для уравнения Лапласа с условием третьего рода на неточно заданной границе.”, Вестник РУДН. Серия Математика, 10:1 (2003), 100–110.

6. Г.Р. Иваницкий, “Тепловидение в медицине”, Вестник РАН., 76:1 (2006), 48–58.