Контрпример к стохастической версии теоремы Брауэра о неподвижной точке

Показано, что стохастический аналог классической теоремы о неподвижной точке для непрерывных отображений в конечномерном евклидовом пространстве («теорема Брауэра»), вообще говоря, неверен. Этот результат означает, в частности, что в теории стохастических нелинейных операторов необходим тщательный выбор инвариантных множеств в стохастической версии теоремы Брауэра.

локальные операторы, сходимость по вероятности, неподвижные точки

1. B.N. Sadovskii, “A fixed-point principle”, Funct. Anal. Appl., 1:2 (1967), 151-153.

2. J. Jacod, J. Memin, “Existence of weak solutions for stochastic differential equations with driving semimartingales”, Stochastics, 4 (1981), 317-337.

3. A. Ponosov, “Fixed point method in the theory of stochastic differential equations”, Soviet Math. Doklady, 37:2 (1988), 426-429.

4. J. Appell, P.P. Zabreiko, Nonlinear Superposition Operators, Cambridge Tracts in Mathematics, Cambridge University Press, Cambridge, 2008, 311 pp.

5. A. Ponosov, “On the Nemytskii conjecture”, Soviet Math. Doklady, 34:1 (1987), 231-233.

6. X. Mao, Stochastic Differential Equations and Applications, Horwood Publishing ltd., Chichester, 1997, 366 pp.

7. B. Шksendal, Stochastic Differential Equations, Universitext, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, Berlin, 2013, 379 pp.

8. A. Ponosov, “Local operators and stochastic differential equations”, Functional Differential Equations, 4:1-2 (1997), 73-89.

9. G.Di Nunno, B. Шksendal, F. Proske, Malliavin Calculus for Lґevy Processes with Applications to Finance, Universitext, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, Berlin, 2009, 418 pp.

10. D.H. Wagner, “Survey of measurable selection theorems”, SIAM J. Control and Optimization, 15:5 (1977), 859-903.

11. I. V. Shragin, “Abstract Nemytskii operators are locally defined operators”, Soviet Math. Doklady, 17:2 (1976), 354-357.

12. A. Ponosov, E. Stepanov, “Atomic operators, random dynamical systems and invariant measures”, St. Petersburg Math. J., 26 (2015), 607-642.

13. S. G. Krantz, Function Theory of Several Complex Variables: Second Edition. V. 340, AMS Chelsea Publishing, Providence, 1992.

14. Hu Sze-Tsen, Theory of Retracts, Wayne State University Press, Detroit, 1965, 234 pp.