Об одной некорректно поставленной краевой задаче для метагармонического уравнения в круговом цилиндре

Рассматривается смешанная по краевым условиям задача для метагармонического уравнения в области, представляющей собой часть кругового цилиндра. Эту цилиндрическую область с одной стороны ограничивает поверхность общего вида, на которой заданы условия Коши, т. е. заданы функция и ее нормальная производная. Другая граница цилиндрической области свободна. На боковой поверхности цилиндрической области заданы однородные краевые условия первого рода. Задача некорректно поставлена и ее приближенное решение, устойчивое к погрешности в данных Коши, построено с применением методов регуляризации. Рассматриваемая задача сведена к интегральному уравнению Фредгольма первого рода. На основе решения интегрального уравнения, полученного в виде ряда Фурье по собственным функциям первой краевой задачи для уравнения Лапласа в круге, построено явное представление точного решения поставленной задачи. Устойчивое решение интегрального уравнения построено методом регуляризации Тихонова. В качестве приближенного решения интегрального уравнения рассматривается экстремаль функционала Тихонова. На основе этого решения строится приближенное решение задачи в целом. Приведена теорема сходимости приближенного решения поставленной задачи к точному при стремлении к нулю погрешности в данных Коши и при согласовании параметра регуляризации с погрешностью в данных. Результаты работы могут быть использованы для математической обработки данных тепловидения в ранней диагностике в медицине.

некорректно поставленная задача, метагармоническое уравнение, функции Бесселя, интегральное уравнение первого рода, метод регуляризации Тихонова

1. Г.Р. Иваницкий, “Тепловидение в медицине”, Вестник РАН, 76:1 (2006), 48–58.

2. J.P. Agnelli, A.A. Barrea, C.V. Turner, “Tumor location and parameter estimation by Thermography”, Mathematical and Computer Modelling, 53:7-8 (2011), 1527-1534.

3. Е.Б. Ланеев, Б. Васудеван, “Об устойчивом решении одной смешанной задачи для уравнения Лапласа”, Вестник РУДН. Серия Прикладная математика и информатика, 1999, №1, 128–133.

4. Е.Б. Ланеев, “О построении функции Карлемана на основе метода регуляризации Тихонова в некорректно поставленной задаче для уравнения Лапласа”, Дифференциальные уравнения, 54:4 (2018), 483–491.

5. Е.Б. Ланеев, Д.Ю. Быков, А.В. Зубаренко, О.Н. Куликова, Д.А. Морозова, Е.В. Шунин, “Об одной некорректно поставленной краевой задаче для уравнения Лапласа в круговом цилиндре”, Вестник российских университетов. Математика, 26:133 (2021), 35–43.

6. А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин, Методы решения некорректных задач, Наука, М., 1979.

7. А.Н. Тихонов, В.Б. Гласко, О.К. Литвиненко, В.Р. Мелихов, “О продолжении потенциала в сторону возмущающих масс на основе метода регуляризации”, Изв. АН СССР. Физика Земли, 1968, №1, 30–48.

8. Е.Б. Ланеев, М.Н. Муратов, “Об одной обратной задаче к краевой задаче для уравнения Лапласа с условием третьего рода на неточно заданной границе”, Вестник РУДН. Серия Математика, 10:1 (2003), 100–110.