Разрешение алгебро-дифференциального уравнения второго порядка относительно производной

В статье рассматривается алгебро-дифференциальное уравнение второго порядка. Уравнениями и системами дифференциальных уравнений второго порядка описывается работа схемы электронного триода с обратной связью, вращение жесткого тела с полостью, считывание информации с диска и т. д. Перед старшей производной находится необратимый оператор. Этот оператор фредгольмов с нулевым индексом, обладающий ядром произвольной размерности и цепочками Жордана произвольной длины. Уравнения с необратимыми операторами при старшей производной называются алгебродифференциальными. В связи с этим решение задачи существует при определенных условиях на компоненты искомой функции. Для разрешения уравнения относительно производной применяется метод каскадной декомпозиции уравнения, заключающегося в пошаговом расщеплении уравнения на уравнения в подпространствах уменьшающихся размерностей. Рассмотрены случаи одношагового и двухшагового расщепления. При расщеплении используется результат о решении линейного уравнения с фредгольмовым оператором. В каждом случае получен результат, сформулированный в виде теоремы. Для иллюстрации полученного результата в случае одношагового расщепления приводится иллюстрирующий пример задачи Коши.

алгебро-дифференциальное уравнение второго порядка, банахово пространство, фредгольмов оператор, каскадная декомпозиция, задача Коши

1. Дж. Стокер, Нелинейные колебания в механических и электрических схемах. Т. 2, Чистая и прикладная математика, Издательство иностранной литературы, М., 1952, 273 с.

2. Н.Д. Копачевский, С.Г. Крейн, Нго Зуй Кан, Операторные методы в линейной гидродинамике. Эволюционные и спектральные задачи, Наука, М., 1989.

3. R.C. Dorf, R.H. Bishop, Modern Control Systems, Marquette University Faculty, USA, 1998.

4. С.С. Орлов, “Непрерывные решения вырожденного интегро-дифференциального уравнения второго порядка в банаховых пространствах”, Известия Иркутского государственного университета, 2:1 (2009), 328–332.

5. М.Н. Ботороева, О.С. Будникова, Л.С. Соловарова, “О выборе краевых условий для дифференциально-алгебраических уравнений второго порядка”, Вестник Бурятского государственного университета. Математика, информатика, 2019, №3, 32–41.

6. В.И. Усков, “Исследование жесткости алгебро-дифференциальной системы первого порядка с возмущением в правой части”, Вестник российских университетов. Математика, 26:134 (2021), 172–181.

7. С.М. Никольский, “Линейные уравнения в линейных нормированных пространствах”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 7:3 (1943), 147–166.

8. С.П. Зубова, В.И. Усков, “Асимптотическое решение задачи Коши для уравнения первого порядка с малым параметром в банаховом пространстве. Регулярный случай”, Математические заметки, 103:3 (2018), 392–403.