Об исследовании спектральных свойств дифференциальных операторов с гладкой весовой функцией

В работе исследуются спектральные свойства дифференциального оператора третьего порядка с суммируемым потенциалом с гладкой весовой функцией. Граничные условия являются разделенными. Метод изучения дифференциальных операторов с суммируемым потенциалом является развитием метода изучения операторов с кусочно-гладкими коэффициентами. Краевые задачи такого рода возникают при исследовании колебаний стержней, балок и мостов, составленных из материалов различной плотности. Дифференциальное уравнение, задающее дифференциальный оператор, с помощью метода вариации постоянных сводится к решению интегрального уравнения Вольтерра. Решение интегрального уравнения находится методом последовательных приближений Пикара. С помощью исследования интегрального уравнения получены асимптотические формулы и оценки для решений дифференциального уравнения, задающего дифференциальный оператор. При больших значениях спектрального параметра выведена асимптотика решений дифференциального уравнения, задающего дифференциальный оператор. Асимптотические оценки решений дифференциального уравнения получаются аналогично асимптотическим оценкам решений дифференциального оператора с гладкими коэффициентами. Изучение граничных условий приводит к исследованию корней функции, представленной в виде определителя третьего порядка. Чтобы получить корни этой функции, была изучена индикаторная диаграмма. Корни этого уравнения находятся в трёх секторах бесконечно малого раствора, задаваемых индикаторной диаграммой. В статье изучено поведение корней этого уравнения в каждом из секторов индикаторной диаграммы. Вычислена асимптотика собственных значений исследуемого дифференциального оператора. Найденные формулы для асимптотики собственных значений позволяют исследовать спектральные свойства собственных функций изучаемого дифференциального оператора.

спектральный параметр, дифференциальный оператор, краевая задача, суммируемый потенциал, граничные условия, весовая функция, индикаторная диаграмма, асимптотика собственных значений

1. G.D. Birkhoff, “On the asymptotic character of the solutions of the certain linear differential equations containing parameter”, Trans. Amer. Math. Soc., 9 (1908), 219-231.

2. Я.Д. Тамаркин, О некоторых общих задачах теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений, тип. М.П. Фроловой, Петроград, 1917, 308 с.

3. М.В. Федорюк, “Асимптотика решений обыкновенных линейных дифференциальных уравнений n-го порядка”, Дифференциальные уравнения, 2:4 (1966), 492-507.

4. И.М. Гельфанд, Б.М. Левитан, “Об одном простом тождестве для собственных значений дифференциального оператора второго порядка”, Доклады АН СССР, 88 (1953), 593-596.

5. Б.М. Левитан, М.Г. Гасымов, “Определение дифференциального уравнения по двум спектрам”, УМН, 19:2(116) (1964), 3-63.

6. В.Б. Лидский, В.А. Садовничий, “Асимптотические формулы для корней одного класса целых функций”, Матем. сб., 75(117):4 (1968), 558-566.

7. В.А. Ильин, “О сходимости разложений по собственным функциям в точках разрыва коэффициентов дифференциального оператора”, Матем. заметки, 22:5 (1977), 679-698.

8. В.Д. Будаев, “О безусловной базисности на замкнутом интервале систем собственных и присоединенных функций оператора второго порядка с разрывными коэффициентами”, Дифференц. уравнения, 23:6 (1987), 941-952.

9. С.И. Митрохин, “О формулах регуляризованных следов для дифференциальных операторов второго порядка с разрывными коэффициентами”, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 1986, №6, 3-6.

10. С.И. Митрохин, “О формулах следов для одной краевой задачи с функционально-дифференциальным уравнением с разрывным коэффициентом”, Дифференц. уравнения, 22:6 (1986), 927-931.

11. H.P.W. Gottlieb, “Iso-spectral operators: some model examples with discontinuous coefficients”, Journal of Math. Anal. and Appl, 132 (1988), 123-137.

12. С.И. Митрохин, “О некоторых спектральных свойствах дифференциальных операторов второго порядка с разрывной весовой функцией”, Доклады РАН, 356:1 (1997), 13-15.

13. А.П. Гуревич, А.П. Хромов, “Операторы дифференцирования первого и второго порядков со знакопеременной весовой функцией”, Матем. заметки, 56:1 (1994), 3-15.

14. O.H. Hald, “Discontinuous inverse eigenvalue problems”, Communs Pure and Appl. Math., 37 (1984), 539-577.

15. В.А. Винокуров, В.А. Садовничий, “Асимптотика любого порядка собственных значений и собственных функций краевой задачи Штурма-Лиувилля на отрезке с суммируемым потенциалом”, Дифференц. уравнения, 34:10 (1998), 1423-1426.

16. С.И. Митрохин, “Асимптотика собственных значений дифференциального оператора четвертого порядка с суммируемыми коэффициентами”, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 2009, №3, 14-17.

17. С.И. Митрохин, “О спектральных свойствах одного дифференциального оператора с суммируемыми коэффициентами с запаздывающим аргументом”, Уфимский математический журнал, 3:4 (2011), 95-115.

18. С.И. Митрохин, “О спектральных свойствах дифференциальных операторов нечетного порядка с суммируемым потенциалом”, Дифференциальные уравнения, 47:12 (2011), 1808- 1811.

19. А.М. Савчук, “Регуляризованный след первого порядка оператора Штурма-Лиувилля с δ-потенциалом”, УМН, 55:6(336) (2000), 155-156.

20. А.М. Савчук, А.,А. Шкаликов, “Операторы Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами”, Матем. заметки, 66:6 (1999), 897-912.

21. С.И. Митрохин, Асимптотические методы решений дифференциальных уравнений с суммируемыми коэффициентами, ИНТУИТ, М., 2011, 592 с.

22. С.И. Митрохин, “Об изучении спектральных свойств дифференциальных операторов четного порядка с разрывной весовой функцией”, Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки, 23:121 (2018), 74-99.

23. С.И. Митрохин, “О спектральных свойствах дифференциального оператора с суммируемым потенциалом и гладкой весовой функцией”, Вестник СамГУ. Естественнонауч. серия, 2008, №8(1/67), 172-187.

24. М.А. Наймарк, Линейные дифференциальные операторы, Наука, М., 1969, 528 с.

25. Р. Беллман, К.Л. Кук, Дифференциально-разностные уравнения, Мир, М., 1967, 548 с.

26. В.А. Садовничий, В.А. Любишкин, “О некоторых новых результатах теории регуляризованных следов дифференциальных операторов”, Дифференц. уравнения, 18:1 (1982), 109-116.