Свойства алгебры псевдодифференциальных операторов, связанные с интегрируемыми иерархиями

В работе рассматриваются различные свойства алгебры псевдодифференциальных операторов, связанные с интегрируемыми иерархиями, возникающими в этой алгебре, в частности, иерархией Кадомцева-Петвиашвили (КП) и ее строгой версией. Одни свойства проясняют вид уравнений в иерархиях и дают понимание того, почему уравнения определенного вида скомбинированы в этих системах, другие позволяют изучить свойства самих систем, а именно: вид собственных функций линеаризаций упомянутых иерархий, описание элементарных преобразований Дарбу обоих иерархий, отыскание представлений построенных собственных функций и двойственных им в терминах определителей Фредгольма.

псевдодифференциальные операторы, сопряженный оператор, свободный член, иерархия n-КдФ, иерархия КП, строгая иерархия КП, уравнения Лакса

1. P.D. Lax, “Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves”, Commun. Pure Appl. Math., 21:5 (1968), 467-490.

2. G. Wilson, “Commuting flows and conservation laws for Lax equations”, Math. Proc. Camb. Phil. Soc., 86:1 (1979), 131-143.

3. I. M. Gelfand, L. A. Dickey, “Fractional powers of operators and Hamiltonian systems”, Funct. Anal. Its Appl., 10:4 (1976), 259-273.

4. M. Sato, Y. Sato, “Soliton equations as dynamical systems on infinite-dimensional Grassman manifold”, Nonlinear Partial Differential Equations In Applied Science, Proceedings of the U.S.-Japan seminar “Nonlinear partial differential equations in applied science” (Tokyo, 1982 (North-Holland mathematics studies)), 1983, 259-272.

5. E. Date, M. Jimbo, M. Kashiwara, T. Miwa, “Transformation groups for soliton equations”, Non-Linear Integrable Systems-Classical Theory and Quantum Theory, Proceedings of RIMS symposium “Non-linear integrable systems-classical theory and quantum theory” (Kyoto, Japan, 13-16 May, 1981), 1983, 39-119.

6. G. Segal, G. Wilson, “Loop groups and equations of KdV type”, Publications Mathematiques de l’IHES, 61 (1985), 5-65.

7. G.F. Helminck, A.G. Helminck, E.A. Panasenko, “Integrable deformations in the algebra of pseudo differential operators from a Lie algebraic perspective”, Theoret. and Math. Phys., 174:1 (2013), 134-153.

8. G.F. Helminck, E.A. Panasenko, S.V. Polenkova, “Bilinear equations for the strict KP hierarchy”, Theoret. and Math. Phys., 185:3 (2015), 1804-1816.

9. G.F. Helminck, A.G. Helminck, E.A. Panasenko, “Cauchy problems related to integrable deformations of pseudo differential operators”, Journal of Geometry and Physics, 85 (2014), 196-205.

10. G.F. Helminck, E.A. Panasenko, “Geometric solutions of the strict KP hierarchy”, Theoret. and Math. Phys., 198:3 (2019), 48-68.

11. G.F. Helminck, E.A. Panasenko, “Expressions in Fredholm determinants for solutions of the strict KP hierarchy”, Theoret. and Math. Phys., 199:2 (2019), 637-651.