Недифференциальные теоремы Куна-Таккера в задачах на условный экстремум и субдифференциалы негладкого анализа

Статья посвящена получению теорем Куна-Таккера в недифференциальной форме в задачах на условный экстремум в гильбертовом пространстве. Ограничения задач задаются операторами, образы которых также вкладываются в гильбертово пространство. Эти ограничения содержат аддитивно входящие в них параметры. В основе получения недифференциальных теорем Куна-Таккера лежит так называемый метод возмущений. Статья состоит из двух основных разделов. Первый из них посвящен получению недифференциального принципа Лагранжа в том случае, когда задача на условный экстремум является выпуклой. Теорема Куна-Таккера есть «регулярная часть» этого принципа Лагранжа. Здесь приводятся также различные утверждения, связывающие множители Лагранжа со свойствами субдифференцируемости выпуклой функций значений задачи. Основное предназначение первого раздела состоит в том, чтобы проследить, как классическая конструкция функции Лагранжа в ее регулярном и нерегулярном вариантах «порождается» субдифференциалами и асимптотическими субдифференциалами функции значений. Данное обстоятельство и результаты первого раздела позволяют перекинуть естественный мостик от выпуклых параметрических задач на условный экстремум к аналогичным нелинейным параметрическим задачам второго основного раздела, в которых функция значений, вообще говоря, не является выпуклой. Центральную роль здесь играют уже не субдифференциалы в смысле выпуклого анализа, а субдифференциалы негладкого (нелинейного) анализа. Как следствие, в этом случае в качестве основной конструкции выступает так называемая модифицированная (не классическая) функция Лагранжа. Ее конструкция полностью зависит от того, как понимается субдифференцируемость в смысле негладкого (нелинейного) анализа.

задача на условный экстремум, недифференциальная теорема Куна-Таккера, метод возмущений, функция значений, выпуклый анализ, негладкий (нелинейный) анализ, субдифференциалы

1. В. М. Алексеев, В. М. Тихомиров, С. В. Фомин, Оптимальное управление, Наука, М., 1979.

2. Е. С. Левитин, Теория возмущений в математическом программировании и приложения, Наука, М., 1992.

3. А. Ф. Измаилов, Чувствительность в оптимизации, Физматлит, М., 2006.

4. Ж.-П. Обен, Нелинейный анализ и его экономические приложения, Мир, М., 1988.

5. P. D. Loewen, CRM Proceedings and Lecture Notes. V. 2: Optimal Control via Nonsmooth Analysis, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1993.

6. Ф. Кларк, Оптимизация и негладкий анализ, Наука, М., 1988.

7. B. S. Mordukhovich, Variational Analysis and Generalized Differentiation, I: Basic theory; II: Applications, Springer, Berlin, 2006.

8. F. H. Clarke, Yu. S. Ledyaev, R. J. Stern, P. R. Wolenski, Nonsmooth Analysis and Control Theory. Graduate Texts in Mathematics. V. 178, Springer-Verlag, New York, 1998.

9. М. И. Сумин, “Регуляризованная параметрическая теорема Куна-Таккера в гильбертовом пространстве”, Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 51:9 (2011), 1594-1615.

10. М. И. Сумин, “Устойчивое секвенциальное выпуклое программирование в гильбертовом пространстве и его приложение к решению неустойчивых задач”, Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 54:1 (2014), 25-49.

11. М. И. Сумин, “Устойчивая секвенциальная теорема Куна-Таккера в итерационной форме или регуляризованный алгоритм Удзавы в регулярной задаче нелинейного программирования”, Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 55:6 (2015), 947-977.

12. М. И. Сумин, “Зачем нужна регуляризация принципа Лагранжа и принципа максимума Понтрягина и что она дает”, Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки, 23:4(124) (2018), 757-775.

13. М. И. Сумин, “Регуляризованные принцип Лагранжа и принцип максимума Понтрягина в оптимальном управлении и обратных задачах”, Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН, 25:1 (2019), 279-296.

14. Е. Г. Гольштейн, Теория двойственности в математическом программировании и ее приложения, Наука, М., 1971.

15. М. И. Сумин, Некорректные задачи и методы их решения. Материалы к лекциям для студентов старших курсов, Изд-во Нижегородского госуниверситета, Нижний Новгород, 2009.

16. Ф. П. Васильев, Методы оптимизации: В 2-х кн., МЦНМО, М., 2011.

17. А. Г. Сухарев, А. В. Тимохов, В. В. Федоров, Курс методов оптимизации, Наука, М., 1986.

18. Д. Бертсекас, Условная оптимизация и методы множителей Лагранжа, 1-е изд., Радио и связь, М., 1987.