Существование обратной функции в окрестности нерегулярного значения

Классические теоремы об обратной функции гарантируют существование обратной функции в окрестности значения заданной точки, если в этой точке выполняется условие регулярности, т. е. первая производная в ней невырождена. Более общим условием существования неявной функции является условие 2-регулярности. Оно выполняется, например, для многих квадратичных отображений в нуле. Известно, что при естественных предположениях гладкости из 2-регулярности отображения в точке по некоторому направлению вытекает существование непрерывной обратной функции. В этой работе показано, что в известных утверждениях о существовании обратной функции при выполнении условия 2-регулярности предположения гладкости можно ослабить. При этом обратная функция может не быть непрерывной.

обратная функция, 2 -регулярность

1. В. М. Тихомиров, “Теорема Люстерника о касательном пространстве и некоторые ее модификации”, Оптимальное управление: Математические вопросы управления производством, 7 (1977), 22-30.

2. A. L. Dontchev, R. T. Rockafellar, Implicit Functions and Solution Mappings. A View from Variational Analysis, Springer, New York, 2009.

3. М. Спивак, Математический анализ на многообразиях, Мир, М., 1968.

4. H. Halkin, “Implicit functions and optimization problems without continuous differentiability of the data”, SIAM J. Control, 12:2 (1974), 229-236.

5. А. В. Арутюнов, Г. Г. Магарил-Ильяев, В. М. Тихомиров, Принцип максимума Понтрягина. Доказательство и приложения, Факториал Пресс, М., 2006.

6. Е.Р. Аваков, А. В. Арутюнов, “Теорема об обратной функции и условия экстремума для анормальных задач с незамкнутым образом”, Матем. сб., 196:9 (2005), 3-22.

7. А. В. Арутюнов, “Теорема о неявной функции без априорных предположений нормальности”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 46:2 (2006), 205-215.

8. А. В. Арутюнов, “Гладкие анормальные задачи теории экстремума и анализа”, УМН, 67:3(405) (2012), 3-62.