Перечисление проективно конгруэнтных симметричных матриц

Аннотация

Исследуются проективные пространства над локальным кольцом R = 2R с главным максимальным идеалом J ; 1 + J ⊆ R*2 : Квадратичные формы и соответствующие им симметричные матрицы A и B проективно конгруэнтны, если существуют k ∈ R* и U ∈ GL(n;R) такие, что kA = UBU T . В случае k = 1 квадратичные формы (соответственно, симметричные матрицы) называем конгруэнтными. Решение задачи перечисления конгруэнтных и проективно конгруэнтных классов квадратичных форм основано на выявлении (единственного) нормального вида соответствующих им симметричных матриц и тесно связана с теорией схем квадратичных форм. Над локальным кольцом R ; удовлетворяющим условиям R* = R*2 ={1;-1; p;-p} и D(1; 1) = D(1; p) = {1; p}; D(1;-1) = D(1;-p) = {1;-1; p;-p} ; выявлен (единственный) нормальный вид конгруэнтных симметричных матриц. Для случая, когда максимальный идеал является нильпотентным, найдено число классов конгруэнтных и проективно конгруэнтных симметричных матриц.