Аналитическое решение двухкомпонентной системы реакция-диффузия с обратимой химической реакцией в случае различных коэффициентов диффузии

Рассматривается линейная двухкомпонентная система уравнений в частных производных реакция-диффузия на действительной оси, моделирующая обратимую химическую реакцию. Основное внимание уделено случаю различных коэффициентов диффузии, при котором операторы диффузии и реакции не коммутируют, однако, выполняется закон сохранения полной массы. Это исключает факторизацию решения и приводит к нетривиальной пространственно-временной динамике. С помощью преобразования Фурье задача сводится к семейству линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Для сравнения приведено классическое факторизованное решение в случае равных коэффициентов диффузии, когда операторы коммутируют. Решение строится методом последовательных приближений Пикара для интегрального уравнения Вольтерра, который имеет высокую скорость сходимости, а его члены ряда допускают прозрачную физическую интерпретацию. Выражения для концентрации представлены в виде суммы прямого диффузионного вклада молекул, не претерпевших реакций и вклада молекул, прошедших определенную последовательность переходов между состояниями. Полученные формулы предоставляют эффективный инструмент как для качественного анализа пространственно-временной динамики, так и для количественных расчетов с контролируемой точностью в прикладных задачах химической кинетики, транспорта веществ.

1. J. D. Murray, Mathematical Biology I: An Introduction, 3rd edition, Springer, 2001, 551 pp.

2. J. Crank, The Mathematics of Diffusion, Clarendon Press, Oxford University Press, 1975, 421 pp.

3. P. Stroeve, Diffusion with Reversible Chemical Reaction in Heterogeneous Media, Massachusetts Institute of Technology, Dept. of Chemical Engineering, 1973, 517 pp.

4. А. Н. Тихонов, А.А. Самарский, Уравнения математической физики, Наука, 1977, 735 с.; англ. пер.

5. H. S. Carslaw, J. C. Jaeger, Conduction of Heat in Solids, 2nd edition, Oxford University Press, 1959, 510 pp.

6. Ф. Р. Гантмахер, Теория матриц, Наука, 1966, 576 с.; англ. пер.

7. L. C. Evans, Partial Differential Equations, 2nd edition, American Mathematical Society, 2010, 749 pp.

8. В. М. Вержицкий, Численные методы (математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения) , Директ-Медиа, М., 2013, 400 с.

9. В. И. Арнольд, Обыкновенные дифференциальные уравнения, МЦНМО, Электронное издание, 2014, 344 с.; англ. ориг.

10. Ф. Г. Авхадиев, Основы численных методов, Издательство Казанского университета, Казань, 2022, 444 с.

11. И. Х. Сабитов, “Об одном методе вычисления объемов тел”, Сибирские электронные математические известия, 10 (2013), 615–626.

12. А. А. Самарский, Введение в теорию разностных схем, Наука, М., 1971, 552 с.; англ. пер.

13. S. Hata, H. Nakao, A. S. Mikhailov, “Sufficient conditions for wave instability in three-component reaction-diffusion systems”, Progress of Theoretical and Experimental Physics, 1 (2014), 1–17.

14. W. E. Fitzgibbon, J J. Morgan, Bao Q. Tang, Hong-Ming Yin, “Reaction-diffusion-advection systems with discontinuous diffusion”, SIAM J. Math. Anal., 53:6 (2021), 6771–6803.

15. E. Villar-Sepulveda, A. R. Champneys, A. L. Krause, “Designing reaction-cross-diffusion systems with Turing and wave instabilities”, Journal of Mathematical Biology, 91 (2025), art. no. 37.