О взаимоотношении движений динамических систем в сепарабельном локально компактном метрическом пространствес инвариантной мерой

В настоящей работе исследуются взаимоотношения рекуррентных и уходящих движений динамических систем. Под уходящим движением понимается движение, - и -предельные множества которого или пусты, или не компактны. Показано, что в сепарабельном локально компактном метрическом пространстве с инвариантной мерой Каратеодори почти все точки лежат на траекториях движений, которые являются или рекуррентными, или уходящими, т. е. в пространстве множество точек , лежащих на траекториях неуходящих и нерекуррентных движений, имеет меру нуль. Более того, любое движение, расположенное в , является как положительно, так и отрицательно асимптотическим по отношению к соответствующим компактным минимальным множествам. Доказательство данного утверждения существенным образом опирается на классические теоремы о возвращении Пуанкаре–Каратеодори и Хопфа. Из этого доказательства и теоремы Хопфа следует, что в сепарабельном локально компактном метрическом пространстве возможно существование нерекуррентных устойчивых по Пуассону движений, но все эти движения с необходимостью должны быть уходящими. В то же самое время, в компактном пространстве любое устойчивое по Пуассону движение является рекуррентным.

динамические системы, сепарабельное локально компактное метрическое пространство с инвариантной мерой, взаимоотношение движений

1. Дж. Биркгоф, Динамические системы, Изд. дом «Удмуртский университет», Ижевск, 1999.

2. В.В. Немыцкий, В.В. Степанов, Качественная теория дифференциальных уравнений, УРСС, М., 2004.

3. D.N. Cheban, Asymptotically Almost Periodic Solutions of Differential Equations, HPC Publ., New York, 2009.

4. А.П. Афанасьев, С.М. Дзюба, “О новых свойствах рекуррентных движений и минимальных множеств динамических систем”,

5. Вестник российских университетов. Математика, 26:133 (2021), 5–14.

6. А.П. Афанасьев, С.М. Дзюба, “О взаимоотношении движений динамических систем”, Вестник российских университетов.

7. Математика, 27:138 (2022), 136–142.

8. Л. Шварц, Анализ. Т. I, Мир, М., 1972.

9. А.П. Афанасьев, С.М. Дзюба, “Новые свойства рекуррентных движений и предельных множеств динамических систем”, Вестник российских университетов. Математика, 27:137 (2022), 5–15.

10. П.С. Александров, Введение в общую теорию множеств и функций, ОГИЗ–Гостехиздат, М., 1948.