Численное решение дифференциально-алгебраических уравнений произвольного индекса с производной Римана-Лиувилля

В статье исследованы линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений дробного порядка . В отличии от ранее известных результатов, авторы рассматривают случай, когда матрица, стоящая перед операцией дробного дифференцирования, является вырожденной. Задачи в такой постановке называются дифференциально-алгебраическими уравнениями дробного порядка. Подчеркнуты принципиальные отличия таких систем от классических задач дробного дифференцирования и интегрирования, а именно, они могут иметь бесконечное множество решений, или решение исходной задачи зависит от высокой дробной производной правой части. Приведены соответствующие примеры. Авторы переходят к иной, эквивалентной постановке задачи, а именно, переписывают ее в виде системы линейных интегральных уравнений типа Абеля (со слабой особенностью). Такой прием позволяет применять для исследования на предмет существования и единственности решения исходной задачи аппарат регулярных матричных пучков. Используя данный результат, авторы приводят достаточные условия существования единственного решения рассматриваемого класса задач. Далее, предложен алгоритм численного решения таких уравнений. Этот метод основан на методе интегрирования произведений и квадратурной формуле правых прямоугольников. Приведены расчеты и графики погрешностей предложенного метода для различных показателей дробного дифференцирования и различных индексов исходных матричных пучков.

дифференциально-алгебраические уравнения, дробная производная Римана-Лиувилля, индекс матричного пучка, интегро-алгебраические уравнения типа Абеля, метод интегрирования произведений

1. В.Е. Тарасов, Модели теоретической физики с интегро-дифференцированием дробного порядка, Ижевский институт компьютерных исследований, Москва–Ижевск, 2011, 568 с.

2. В.В. Учайкин, Метод дробных производных, Артишок, Ульяновск, 2008, 510 с.

3. С.Г. Самко, А.А. Килбас, О.И. Маричев, Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения, Наука и техника, Минск, 1987, 688 с.

4. A.A. Kilbas, H.M. Srivastava, J.J. Trujillo, Theory and Applications of Fractional Differential Equations, Elsevier Science Publishing, Amsterdam–Boston–Heidelberg, 2006, 541 pp.

5. Ю.Е. Бояринцев, Регулярные и сингулярные системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, Наука, Сиб. отд-ние, 1980.

6. В.Ф. Чистяков, Алгебро-дифференциальные операторы с конечномерным ядром, Наука, Новосибирск, 1996, 280 с.

7. V. Mehrmann, C. Shi, “Transformation of high order linear differential-algebraic systems to first order”, Numerical Algorithms, 42 (2006), 281–307.

8. Ф.Р. Гантмахер, Теория матриц, Наука, М., 1986, 576 с.

9. А.Д. Полянин, А.В. Манжиров, Справочник по интегральным уравнениям, Физматлит, 2003.

10. R. Weiss, “Product integration for the generalized Abel equation”, Mathematics of Computation, 26:117 (1972), 177–190 Ю.Е.

11. Бояринцев, В.М. Корсуков, “Применение разностных методов к решению регулярных систем обыкновенных дифференциальных уравнений”, Вопросы прикладной математики, 1975, 140–152.