Новый метод оценки модулей начальных тейлоровских коэффициентов на классе ограниченных не обращающихся в нуль функций

Задача получения точной оценки модуля тейлоровского коэффициента с номером n на классе B ограниченных не обращающихся в нуль функций сведена к задаче об оценке функционала над классом нормированных ограниченных функций, которая в свою очередь сведена к задаче о поиске условного максимума неотрицательной целевой функции действительных аргументов с ограничениями типа неравенств, что позволяет применять стандартные численные методы поиска условных экстремумов. Получены аналитические выражения для первых шести целевых функций и показана их липшицевость. Исходя из липшицевости целевой функции с номером n обосновывается метод точной оценки модуля тейлоровского коэффициента с номером n на классе B. Обсуждается алгоритм поиска глобального условного максимума целевой функции. Первый шаг этого алгоритма состоит в поиске полным перебором с довольно-таки большим шагом. На втором шаге алгоритма используется метод поиска локального максимума с начальными точками, полученными на предыдущем шаге. Результаты численных вычислений приведены в графическом виде и подтверждают гипотезу Кшижа при На основе этих расчетов, а также на основе так называемых асимптотических оценок выводится точная оценка модулей первых шести тейлоровских коэффициентов на классе B. Полученные результаты сравниваются с известными ранее оценками модулей начальных тейлоровских коэффициентов на классе B и его подклассах Обсуждаются экстремали для подклассов и гипотеза Кшижа уточняется для подклассов Дается краткий исторический обзор исследований по тематике оценки модулей начальных тейлоровских коэффициентов на классе B.

1. J.G. Krzyz, “Problem 1”, Proceedings of the Fourth Conference on Analytic Functions, Annals of Polish Mathematicians, 20:3 (1968), 314.

2. J.G. Krzyz, “Coefficient problem for bounded nonvanishing functions”, Annals of Polish Mathematicians, 70 (1968), 314.

3. N. Samaris, “A proof of Krzyz’s conjecture for the fifth coefficient”, Compl. Var. Theory and Appl., 48 (2003), 48–82.

4. W. Rogosinski, “On the coefficients of subordinate functions”, Proc. London Math. Soc., 48 (1943), 48–82.

5. Д.Л. Ступин, “Проблема коэффициентов для ограниченных функций и ее приложения”, Вестник российских университетов. Математика, 28:143 (2023), 277–297.

6. J.A. Hummel, S. Scheinberg, L.A. Zalcman, “A coefficient problem for bounded nonvanishing functions”, J. d’Analyse Mathematique, 31 (1977), 169–190.

7. D.V. Prokhorov, J. Szynal, “Coefficient estimates for bounded nonvanishing functions”, Bull. Acad. Pol. Sci. Ser. Sci. Math., 29:5–6 (1981), 223–230.

8. J.E. Brown, “Iterations of functions subordinate to schlicht functions”, Compl. Var., 9 (1987), 143–152.

9. Tan Delin, “Coefficient estimates for bounded nonvanishing functions”, Chinese Ann. Math., A4 (1983), 97–104.

10. W. Szapiel, “A new approach to the Krzyz conjecture”, Ann. Univ. M. Curie-Sklodowska. Sec. A, 48 (1994), 169–192.

11. R. Ermers, Coefficient Estimates for Bounded Nonvanishing Functions, Wibro Dissertatiedrukkerij, Helmond, 1990, 88 pp.

12. Д.Л. Ступин, “Теория меры и оценка модулей первых шести коэффициентов в проблеме Кшижа”, Применение функционального анализа в теории приближений, Издательство Тверского государственного университета, Тверь, 2015, 36–49.

13. Д.Л. Ступин, “Точная оценка модуля третьего тейлоровского коэффициента на классе ограниченных не обращающихся в нуль функций с действительными коэффициентами”, Перспективы развития математического образования в эпоху цифровой трансформации, Материалы III Всероссийской научно-практической конференции (Тверь, 24–26 марта 2022 г.), Тверской государственный университет, Тверь, 2022, 205–209.

14. E. Lindelöf, “Mémorie sur certaines inґegalitґes dans la thґeorie des fonctions monogénes et sur quelques properiґetґes nouvelles de ces fonctions dans le voisinage d’un point singulier essentiel”, Acta Soc. Sci. Fenn., 35:7 (1909), 1–35.

15. J.E. Littlewood, Lectures on the Theory of Functions, Oxford University Press, 1947, 251 pp.

16. R. Peretz, “Applications of subordination theory to the class of bounded nonvanishing functions”, Compl. Var., 17:3–4 (1992), 213–222.

17. Д.Л. Ступин, “Точные оценки коэффициентов в проблеме Кжижа”, Применение функционального анализа в теории приближений, Издательство Тверского государственного университета, Тверь, 2010, 52–60.

18. Д.Л. Ступин, Гипотеза Кшижа и выпуклые однолистные функции, 2023, 13 с., https://doi.org/10.24108/preprints-3112695

19. O. Töplitz, “Über die Fouriersche Entwicklung Positiver Funktionen”, Rendiconti Circ. Mat. di Palermo, 32 (1911), 191–192.

20. С.В. Романова, “Асимптотические оценки линейных функционалов для ограниченных функций, не принимающих нулевого значения”, Известия вузов. Математика, 2002, №11, 83–85.

21. Д.В. Прохоров, С.В. Романова, “Локальные экстремальные задачи для ограниченных аналитических функций без нулей”, Изв. РАН. Сер. матем., 70:4 (2006), 209–224.

22. П.И. Лизоркин, Курс дифференциальных и интегральных уравнений с дополнительными главами анализа, Наука, М., 1981, 384 с.

23. М.П. Галанин, И.А. Щеглов, Разработка и реализация алгоритмов трехмерной триангуляции сложных пространственных областей: прямые методы, Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша, 2006, 32 с.

24. M.J.D. Powell, “An efficient method for finding the minimum of a function of several variables without calculating derivatives”, Computer Journal, 7:2 (1964), 155-162.

25. Д.Л. Ступин, “Проблема коэффициентов для функций, отображающих круг в обобщенный круг и задача Каратеодори–Фейера”, Применение функционального анализа в теории приближений, Издательство Тверского государственного университета, Тверь, 2012, 45–74.

26. Д.Л. Ступин, В.Г. Шеретов, “Доказательство локальной гипотезы Кшижа”, Вестник ТвГУ. Серия: Прикладная математика, 2005, №6(12), 122–125.

27. Д.Л. Ступин, “Доказательство локального принципа подчинения и локальной справедливости гипотезы Кшижа”, Применение функционального анализа в теории приближений, Издательство Тверского государственного университета, Тверь, 2008, 70–72.

28. V.I. Levin, W. Fenchel, E. Reissner, “Löosing der Aufgabe 163”, Jahresber. DM, 44:2 (1934), 80–83.

29. Д.Л. Ступин, Новое доказательство гипотезы Кшижа при n=3, 2022, 13 с., https://doi.org/10.24108/preprints-3112533.

30. Д.В. Прохоров, “Коэффициенты голоморфных функций”, Комплексный анализ и теория представлений, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз., 71, ВИНИТИ РАН, М., 2000.

31. П.Н. Пронин, Достаточные условия однолистности различных операторов и экстремальные задачи на классе ограниченных функций, Саратовский гос. ун-т., Саратов, 1983, 105 с.