О приближенном решении некорректно поставленной смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа в цилиндрической области с однородными условиями второго рода на боковой поверхности цилиндра

Рассматривается смешанная по краевым условиям задача для уравнения Лапласа в области, представляющая собой часть цилиндра прямоугольного сечения c однородными краевыми условиями второго рода на боковой поверхности цилиндра. Цилиндрическая область с одной стороны ограничена поверхностью общего вида, на которой заданы условия Коши, т. е. заданы функция и ее нормальная производная, а другая граница цилиндрической области свободна. В этом случае задача обладает свойством неустойчивости задачи Коши для уравнения Лапласа по отношению к погрешности в данных Коши, т. е. некорректно поставлена, и ее приближенное решение, устойчивое к погрешности в данных Коши, требует применения методов регуляризации. Рассматриваемая задача сведена к интегральному уравнению Фредгольма первого рода. На основе решения интегрального уравнения, полученного в виде ряда Фурье по собственным функциям второй краевой задачи для уравнения Лапласа в прямоугольнике, построено явное представление точного решения поставленной задачи. Устойчивое приближенное решение интегрального уравнения построено методом регуляризации Тихонова. В качестве приближенного решения интегрального уравнения рассматривается экстремаль функционала Тихонова. На основе приближенного решения интегрального уравнения строится приближенное решение краевой задачи в целом. Доказана теорема сходимости приближенного решения поставленной задачи к точному при стремлении к нулю погрешности в данных Коши и при согласовании параметра регуляризации с погрешностью в данных.

1. M. Joachimiak, “Choice of the regularization parameter for the Cauchy problem for the Laplace equation”, International Journal of Numerical Methods for Heat & Fluid Flow, 30:10 (2020), 4475–4492.

2. С.Б. Сорокин, “Экономичный прямой метод численного решения задачи Коши для уравнения Лапласа”, Сиб. журн. вычисл. матем., 22:1 (2019), 99–117.

3. М.М. Лаврентьев, О некоторых некорректных задачах математической физики, Изд-во СО АН СССР, Новосибирск, 1962.

4. Г.М. Голузин, В.И. Крылов, “Обобщенная формула Carleman’a и приложение ее к аналитическому продолжению функций”, Математический сборник, 40:2 (1933), 144–149.

5. Е.Б. Ланеев, “О построении функции Карлемана на основе метода регуляризации Тихонова в некорректно поставленной задаче для уравнения Лапласа”, Дифференциальные уравнения, 54:4 (2018), 483–491.

6. А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин, Методы решения некорректных задач, Наука, М., 1979.

7. Е.М. Ландис, “Некоторые вопросы качественной теории эллиптических уравнений второго порядка (случай многих независимых переменных)”, Успехи математических наук, 18:1(109) (1963), 3–62.

8. В.Б. Гласко, Обратные задачи математичесой физики, Изд-во МГУ, М., 1979.

9. Ш. Ярмухамедов, “Функция Карлемана и задача Коши для уравнения Лапласа”, Сибирский математический журнал, 45:3 (2004), 702–719.

10. E.N. Sattorov, Z.E. Ermamatova, “Carleman’s formula of a solutions of the Poisson equation in bounded domain”, Ural Mathematical Journal, 7:2 (2021), 110–120.

11. O. Baaj, “On the application of the Fourier method to solve the problem of correction of thermographic images”, Discrete and Continuous Models and Applied Computational Science, 30:3 (2022), 205–216.

12. E.B. Laneev, O. Baaj, “On a modification of the Hamming method for summing discrete Fourier series and its application to solve the problem of correction of thermographic images”, Discrete and Continuous Models and Applied Computational Science, 30:4 (2022), 342–356.

13. E.B. Laneev, N.Yu. Chernikova, O. Baaj, “Application of the minimum principle of a Tikhonov smoothing functional in the problem of processing thermographic data”, Advances in Systems Science and Applications, 2021, №1, 139–149.

14. E.B. Laneev, E.Yu. Ponomarenko, “On a linear inverse potential problem with approximate data on the potential field on an approximately given surface”, Eurasian Mathematical Journal, 14:1 (2023), 57–70.