Методы построения инвариантных кубатурных формул для интегралов по поверхности тора в R³

В статье рассматривается вопрос о построении кубатурных формул для поверхности тора в инвариантных относительно группы порожденной отражениями в себя. У известных на данный момент инвариантных кубатурных формул, имеющих степень точности больше 3, число узлов существенно превосходит минимально возможное. В статье построены инвариантные кубатурные формулы степени 5 и 7 для поверхности тора с числом узлов, приближенному к минимальному. Приведены таблицы значений узлов и коэффициентов построенных кубатурных формул. Исследована зависимость этих значений от отношения радиусов направляющей и образующей окружностей тора. Для построения использовался метод инвариантных кубатурных формул, основанный на теореме С. Л. Соболева.

1. S.L. Sobolev, V.L. Vaskevich, Cubature Formulas, IM SB RAN, Novosibirsk, 1996 (In Russian).

2. I.P. Mysovskukh, Interpolational Cubature Formulas, Nauka Publ., Moscow, 1981 (In Russian).

3. M.V. Noskov, "On approximate integration over the torus surface", Vestnik St. Petersburg University, 3:15 (1992), 100-102 (In Russian).

4. M.V. Noskov, H.J. Schmid, "Minimal cubature formulae of degree 3 for integrals over the surface of the torus", Computing, 57 (1996), 213-233.

5. I.M. Fedotova, M.V. Noskov, "Minimal cubature formulas of degree 3 for a torus in R^3", Siberian Advances in Mathematics, 26:2 (2016), 90-98.

6. M.V. Noskov, I.M. Fedotova, "On a minimal cubature formula of degree two for a torus in R^3", Siberian Advances in Mathematics, 31:1 (2021), 45-52.

7. E.B. Vinberg, Symmetry of Polynomials, MCNMO, Moscow, 2001 (In Russian).

8. M.V. Noskov, I.M. Fedotova, "On invariant cubature formulas for a torus in R^3", Journal of Computational Mathematics and Mathematical Physics, 43:9 (2003), 1270-1276.