Об операторных функциях операторного переменного

Рассмотрено семейство операторных функций, для которых область определения и область значений включены в вещественную банахову алгебру ограниченных линейных операторов, действующих в вещественном банаховом пространстве. Такие функции находят применение при изучении линейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. Изучены известные операторные функции: экспонента, синус, косинус, гиперболический синус, гиперболический косинус, определяемые суммами соответствующих операторных степенных рядов. Для функций синус, косинус, гиперболический синус, гиперболический косинус указаны формулы сложения, из которых следуют формулы преобразования произведения операторных тригонометрических функций и операторных гиперболических функций в сумму, формулы преобразования суммы и разности одноименных операторных тригонометрических функций и одноименных операторных гиперболических функций в произведение. Доказано основное операторное гиперболическое тождество. Введены понятия следующих операторных функций: тангенс, котангенс, секанс, косеканс, гиперболический тангенс, гиперболический котангенс, гиперболический секанс, гиперболический косеканс. Доказаны периодичность операторных тригонометрических функций синус, косинус, тангенс, котангенс и формулы приведения для них. Найдены взаимосвязи между операторными функциями тангенс и котангенс, гиперболический тангенс и гиперболический котангенс. Указано одно полезное применение полученных операторных тригонометрических формул: доказано, что операторные функции , бесконечно дифференцируемы на ; найдены формулы для производных любого порядка этих функций.

операторная показательная функция, операторные тригонометрические функции, периодичность операторных тригонометрических функций, формула приведения, операторный секанс, операторный косеканс, операторные гиперболические функции, основное операторное гиперболическое тождество, операторный гиперболический секанс, операторный гиперболический косеканс

1. С.Г. Крейн, Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве, Наука, М., 1967.

2. Ю.Л. Далецкий, М.Г. Крейн, Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве, Наука, М., 1970.

3. Функциональный анализ, Справочная математическая библиотека, ред. С. Г. Крейн, Наука, М., 1972.

4. А.Н. Талдыкин, Элементы прикладного функционального анализа, Высш. школа, М., 1982.

5. В.И. Фомин, “Об общем решении линейного однородного дифференциального уравнения в банаховом пространстве в случае комплексных характеристических операторов”, Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки, 24:126 (2019), 211–217.

6. В.И. Фомин, “О случае комплексных корней характеристического операторного полинома линейного однородного дифференциального уравнения n -го порядка в банаховом пространстве”, Дифференциальные уравнения, 56:8 (2020), 1045–1054.

7. В.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т.С. Соболева, Задачи и упражнения по функциональному анализу, Физматлит, М., 2002.

8. В.А. Треногин, Функциональный анализ, Наука, М., 1980.

9. Л. Шварц, Анализ. Т. 1, Мир, М., 1972.

10. А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин, Элементы теории функций и функционального анализа, Наука, М., 1976.

11. В.И. Фомин, “Об основном свойстве комплексной операторной экспоненциальной функции комплексного операторного аргумента”, Вестник российских университетов. Математика, 24:127 (2019), 324–332.

12. А.И. Герасимович, Н.П. Кеда, М.Б. Сугак, Математический анализ. Часть 2, Высш. шк., Минск, 1990.

13. Т. Като, Теория возмущений линейных операторов, Мир, М., 1972.

14. В.И. Фомин, “Об интеграле Римана операторной функции операторного переменного”, Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна, Материалы международной конференции (Воронеж), Тезисы докладов, 2022, 232–234.

15. В.И. Фомин, “Об операторных функциях операторного переменного”, Воронежская весенняя математическая школа, Материалы международной конференции (Воронеж), Тезисы докладов, 2022, 278–279.