О структуре ядра задачи Шварца в эллипсе в общем случае

В статье вычислена структура ядра и коядра задачи Шварца для $J$-ана\-ли\-ти\-чес\-ких функций, заданных в эллипсе $D$ с границей $\Gamma.$ Задача Шварца состоит в~нахождении $J$-аналитической в эллипсе $D$ функции по известному значению ее реальной части на $\Gamma. $ В параграфах 1 и 2 приведена постановка задачи, а также изучено ее решение для специальной правой части. В параграфе 3 изложены необходимые сведения из одной работы А.\,П.~Солдатова. В параграфе 4 построено решение союзной задачи Шварца для специальной правой части. На основании этих результатов в параграфе 5 вычислены ядро и коядро задачи Шварца. Схема их вычисления кратко описана в начале пятого параграфа. Затем в теоремах \ref{th5.1}--\ref{th5.6} данная схема реализована. При этом использованы введенные автором понятия теоретической и алгоритмической разрешимости специальной задачи Шварца. Также использован метод математической индукции. Показано, что ядро и коядро задачи Шварца в эллипсе состоят только из вектор-полиномов. Описана структура ядра и коядра в терминах рангов некоторых вещественных матриц, зависящих от матрицы $J$ и эллипса $\Gamma.$ В конце статьи приведен пример вычисления ядра задачи Шварца в эллипсе для двумерной матрицы $J$ с кратным собственным числом.

вектор-полином, задача Шварца, матрица, эллипс, ядро, коядро, алгоритмическая разрешимость, теоретическая разрешимость

1. Ф.Д. Гахов, Краевые задачи, Наука, М., 1977.

2. Н.И. Мусхелишвили, Краевые задачи, Наука, М., 1968.

3. A.P. Soldatov, Douglis Analytic Functions, Publishing House BelGU, Belgorog, 2016.

4. А.П. Солдатов, “Задача Шварца для функций, аналитических по Дуглису”, Современная математика и ее приложения, 67 (2010), 99–102.

5. V.B. Vasilyev, “General boundary value problems for pseudo differential equations and related difference equations”, Advances in Difference Equations, 289 (2013), 1–7.

6. V.B. Vasilyev, “Pseudo differential equations on manifolds with non-smooth boundaries”, Differential and Difference Equations and Applications, 47 (2013), 625–637.

7. V.G. Nikolaev, “Solutions to the Schwarz problem with diagonalizable matrices in ellipse”, Journal of Mathematical Sciences, 244:4 (2020), 655–670.

8. V.G. Nikolaev, “Schwarz problem in ellipse for nondiagonalizable matrices”, Journal of Mathematical Sciences, 251:6 (2020), 876–901.