Оценки в классе аналитических функций, связанных с овалом Кассини, и некоторые их применения

Вводится и исследуется класс $\mathcal{P}_n(\varphi_\lambda)$ аналитических в открытом единичном круге $E$ функций $\varphi (z)=1 + c_n z^n + c_{n+1} z^{n+1} + \ldots,$ $n \geq 1,$ подчиненных функции $\varphi_\lambda(z)=1+{(1-\lambda)z}/{(1-\lambda z^2)},$ $0\le\lambda\ <1.$ С геометрической точки зрения это означает, что множество значений функции $\varphi(z)$ содержатся в области $\varphi_\lambda(E),$ ограниченной овалом Кассини. Исследованы свойства мажоранты подчинения $\varphi_\lambda(z).$ На основе этого, опираясь на метод подчиненности аналитических функций, в классе $\mathcal{P}_n(\varphi_\lambda)$ установлены точные оценки $\rm{Re}\,\varphi(z),$ $\left|\varphi (z)\right|$ и $\left|z\varphi^\prime(z)/\varphi(z)\right|,$ в частном случае приводящие к одному из классических результатов. Рассмотрено применение данных оценок для исследования экстремальных свойств некоторых классов аналитических в $E$ функций $f(z)$ вида $f(z)=z+a_{n+1}z^{n+1}+a_{n+2}z^{n+2}+\ldots,$ $n\geq1.$ В частности, получены теоремы роста, покрытия и радиусы выпуклости одного класса звездообразных функций, который построен с~использованием функции $\varphi_\lambda(z)$ и обобщает известный подкласс звездообразных функций Р.~Сингха. Также даны приложения полученных результатов к исследованию некоторых классов почти звездообразных и дважды почти звездообразных функций, связанных с функцией $\varphi_\lambda(z).$ В частности, в этих классах установлены теоремы роста и найдены радиусы звездообразности. Все полученные результаты являются точными, представляют собой как новые оригинальные результаты, так и некоторые обобщения известных результатов.

оценки аналитических функций, звездообразные функции, почти звездообразные функции, радиусы выпуклости, радиусы звездообразности

1. Ф.Г. Авхадиев, Л.А. Аксентьев, “Основные результаты в достаточных условиях однолистности аналитических функций”, УМН, 30:4(184) (1975), 3–60.

2. W. Ma, D. Minda, “A unified treatment of some special classes of univalent functions”, Proceedings of the Conference on Complex Analysis, eds. Z. Li, F. Ren, L. Yang, S. Zhang, International Press, New York, 1994, 157–169.

3. S. Kumar, K. Arora, “Starlike functions associated with a petal shaped domain”, 2020, 1–15, arXiv: pdf/2010.10072.

4. N.E. Cho, V. Kumar, S. S. Kumar, V. Ravichandran, “Radius problems for starlike functions associated with the sine function”, Bulletin of the Iranian Mathematical Society, 45:1 (2019), 213–232.

5. S.S. Kumar, K. Gangania, “A cardioid domain and starlike functions”, 2020, 1–28, arXiv:pdf/2008.06833.

6. T.H. MacGregor, “The radius of univalence of certain analytic functions”, Proceedings of the American Mathematical Society, 14:3 (1963), 514–520.

7. T.H. MacGregor, “The radius of univalence of certain analytic functions. II”, Proceedings of the American Mathematical Society, 14:3 (1963), 521–524.

8. R.M. Goel, “A class of close-to-convex functions”, Czechoslovak Mathematical Journal, 18:1 (1968), 104–116.

9. D.B. Shaffer, “Distortion theorems for a special class of analytic functions”, Proceedings of the American Mathematical Society, 39:2 (1973), 281–287.

10. Ф.Ф. Майер, М.Г. Тастанов, А.А. Утемисова, “Об одном подклассе почти выпуклых функций, связанных со звездообразными функциями порядка 1/2”, Вестник Томского государственного университета. Математика и механика, 2025, №94, 5–23.

11. G.M. Goluzin, Geometric Theory of Functions of a Complex Variable. V. 26, Translations of mathematical monographs, American Mathematical Soc., Providence–Rhode Island, 1969, 676 pp.

12. T.J. Suffridge, “Some remarks on convex maps of the unit disk”, Duke Math. J., 37(4) (1970), 775–777.

13. S. Kanasa, A. Tatarczak, “Generalized typically real functions”, Filomat, 30:7 (2016), 1697–1710.

14. О.А. Кувшинов, “О геометрии овала Кассини, его мере невыпуклости и ε -слое”, Изв. ИМИ УдГУ, 60 (2022), 34–57.

15. R. Singh, “On a class of star-like functions”, Compositio Mathematica, 19:1 (1968), 78–82.

16. V. Singh, R. M. Goel, “On radii of convexity and starlikeness of some classes of functions”, J. Math. Soc. Japan, 23(2) (1971), 323–339.

17. M.O. Reade, “The coefficients of close-to-convex functions”, Duke Math. J., 23:3 (1956), 459–462.

18. K. Khatter, S.K. Lee, V. Ravichandran, “Radius of starlikeness for classes of analytic functions”, 2020, 1–15, arXiv: pdf/2006.11744.

19. R.M. Ali, N.K. Jain, V. Ravichandran, “On the radius constants for classes of analytic functions”, 2012, 1–16, arXiv: pdf/1207.4529.

20. W. Rogosinski, “Über positive harmonische entwicklungen und typisch-reelle potenzreihen”, Math. Zeitschr., 35:1 (1932), 93–121.

21. С.А. Гельфер, “Типично вещественные функции”, Матем. сб., 64(106):2 (1964), 171–184.

22. R.J. Libera, “Some radius of convexity problems”, Duke Math. J., 31:1 (1964), 143–158.