Метод возмущений и регуляризация принципа Лагранжа в нелинейной задаче оптимального управления с поточечным фазовым ограничением-равенством

Рассматривается регуляризация принципа Лагранжа (ПЛ) и теоремы Куна-Таккера (TKT) в недифференциальной форме в нелинейной (невыпуклой) задаче оптимального управления системой обыкновенных дифференциальных уравнений с поточечным фазовым ограничением-равенством. Существование решения задачи априори не предполагается. Ограничение-равенство содержит аддитивно входящий в него параметр, что обеспечивает возможность применения для исследования задачи "нелинейного варианта" метода возмущений. Основное предназначение регуляризованных ПЛ и TKT - устойчивое генерирование обобщенных минимизирующих последовательностей (ОМП) в рассматриваемой задаче. Их можно трактовать как ОМП-образующие (регуляризирующие) операторы, ставящие в соответствие каждому набору исходных данных задачи субминималь (минималь) ее отвечающего этому набору регулярного модифицированного функционала Лагранжа (МФЛ), двойственная переменная в котором генерируется в соответствии с процедурой стабилизации по Тихонову двойственной задачи. Конструкция МФЛ полностью определяется видом "нелинейных" субдифференциалов (проксимальный субградиент, субдифференциал Фреше) полунепрерывной снизу функции значений как функции параметра задачи. Регуляризованные ПЛ и TKT "преодолевают" свойства некорректности классических аналогов, составляя тем самым теоретическую основу для создания устойчивых методов решения нелинейных задач оптимального управления. В частном случае, когда задача регулярна в смысле существования в ней обобщенного вектора Куна-Таккера, а ее исходные данные аффинным образом зависят от управления, предельный переход в соотношениях регуляризованной TKT ведет к условиям оптимальности в форме соответствующих недифференциальной TKT и принципа максимума Понтрягина.

нелинейное оптимальное управление, поточечное фазовое ограничение-равенство, обобщенная минимизирующая последовательность, метод возмущенй, субдифференциалы нелинейного анализа, регуляризация, двойственность, принцип Лагранжа

1. Ф.П. Васильев, Методы оптимизации: В 2-х кн., МЦНМО, М., 2011.

2. Ж. Адамар, Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа, Наука, М., 1978.

3. А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин, Методы решения некорректных задач, Наука, М., 1974.

4. А.Д. Иоффе, В.М. Тихомиров, Теория экстремальных задач, Наука, М., 1974.

5. В.М. Алексеев, В.М. Тихомиров, С.В. Фомин, Оптимальное управление, Наука, М., 1979.

6. Некорректные задачи естествознания, ред. А.Н. Тихонов, А.В. Гончарский, Изд-во МГУ, М., 1987.

7. А.Н. Тихонов, А.С. Леонов, А.Г. Ягола, Нелинейные некорректные задачи, Наука, М., 1995.

8. М.И. Сумин, “Регуляризованная параметрическая теорема Куна–Таккера в гильбертовом пространстве”, Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 51:9 (2011), 1594–1615.

9. М.И. Сумин, “Регуляризованные принцип Лагранжа и принцип максимума Понтрягина в оптимальном управлении и обратных задачах”, Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН, 25:1 (2019), 279–296.

10. М.И. Сумин, “Принцип Лагранжа и его регуляризация как теоретическая основа устойчивого решения задач оптимального управления и обратных задач”, Вестник российских университетов. Математика, 26:134 (2021), 151–171.

11. А.В. Арутюнов, Условия экстремума. Анормальные и вырожденные задачи, Факториал, М., 1997.

12. А.А. Милютин, А.В. Дмитрук, Н.П. Осмоловский, Принцип максимума в оптимальном управлении, Центр прикладных исследований мехмата МГУ, М., 2004.

13. М.И. Сумин, “Устойчивая секвенциальная теорема Куна–Таккера в итерационной форме или регуляризованный алгоритм Удзавы в регулярной задаче нелинейного программирования”, Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 55:6 (2015), 947–977.

14. М.И. Сумин, “Метод возмущений и регуляризация принципа Лагранжа в нелинейных задачах на условный экстремум”, Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 64:12 (2024), 2312-2331.

15. М.И. Сумин, “О регуляризации классических условий оптимальности в выпуклых задачах оптимального управления”, Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН, 26:2 (2020), 252–269.

16. Дж. Варга, Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями, Наука, М., 1977.

17. Е.Г. Гольштейн, Теория двойственности в математическом программировании и ее приложения, Наука, М., 1971.

18. P.D. Loewen, Optimal Control via Nonsmooth Analysis, CRM Proceedings & Lecture Notes, 2, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1993.

19. F.H. Clarke, Yu.S. Ledyaev, R.J. Stern, P.R. Wolenski, Nonsmooth Analysis and Control Theory, Graduate Texts in Mathematics, 178, Springer-Verlag, New York, 1998.

20. B.S. Mordukhovich, Variational Analysis and Generalized Differentiation I: Basic Theory, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 330, Springer, Berlin, 2006.

21. М.И. Сумин, “Метод возмущений, субдифференциалы негладкого анализа и регуляризация правила множителей Лагранжа в нелинейном оптимальном управлении”, Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН, 28:3 (2022), 202–221.

22. М.И. Сумин, “О регуляризации недифференциальной теоремы Куна–Таккера в нелинейной задаче на условный экстремум”, Вестник российских университетов. Математика, 27:140 (2022), 351–374.

23. В.А. Треногин, Функциональный анализ, Наука, М., 1980.

24. М.И. Сумин, “Недифференциальные теоремы Куна–Таккера в задачах на условный экстремум и субдифференциалы негладкого анализа”, Вестник российских университетов. Математика, 25:131 (2020), 307–330.

25. Л. Янг, Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления, Наука, М., 1974.

26. М.И. Сумин, “О некорректных задачах, экстремалях функционала Тихонова и регуляризованных принципах Лагранжа”, Вестник российских университетов. Математика, 27:137 (2022), 58–79.

27. Д. Бертсекас, Условная оптимизация и методы множителей Лагранжа, 1-е изд., Радио и связь, М., 1987.

28. М. Мину, Математическое программирование. Теория и алгоритмы, 1-е изд., Наука, М., 1990.

29. Е.Г. Гольштейн, Н.В. Третьяков, Модифицированные функции Лагранжа. Теория и методы оптимизации, Наука, М., 1989.

30. Ж.-П. Обен, Нелинейный 126355анализ и его экономические приложения, Мир, М., 1988.

31. М.И. Сумин, “Регуляризация в линейно выпуклой задаче математического программирования на основе теории двойственности”, Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 47:4 (2007), 602–625.