Интегральное представление решения начальной задачи для волнового уравнения на геометрическом графе без граничных вершин

Изучается начальная задача $u(x,0)=\varphi(x),$ $u_t(x,0)=0$ для волнового уравнения $u_{xx}(x,t)=u_{tt}(x,t)$ при $x\in\Gamma\setminus J$ è $t>0,$ в которой $\Gamma$ - геометрический граф (по Ю.В. Покорному) с прямолинейными рёбрами и без граничных вершин ($\partial\Gamma=\varnothing$), $J$ - множество всех внутренних вершин $\Gamma,$ функция $\varphi$ задана; условия трансмиссии, замыкающие задачу, – это, помимо непрерывности функции $u(\,\cdot\,,t)$ во внутренних вершинах, условия гладкости для неё, суть которых состоит в том, что при каждом $t\geqslant0$ в каждой внутренней вершине $a\in J$ сумма правых производных функции $u(\,\cdot\,,t)$ по всем допустимым направлениям равна 0. Доказывается, что если $G^\ast$ есть обобщённая функция Грина (по М. Г. Завгороднему, 2019) для краевой задачи $-y''(x)=f(x),$ $x\in\Gamma\setminus J,$ при гладких условиях трансмиссии (здесь $y$ -искомая функция, непрерывная в точках из $J,$ а $f$ -заданная функция, равномерно непрерывная на каждом ребре $\Gamma$), то классическое решение u начальной задачи представимо в виде: где $\langle\varphi\rangle$ – среднее от $\varphi$ по $\Gamma,$ а $g^\ast(x,t,s)=[\mathcal C(t)G^\ast(\,\cdot\,,s)](x),$ где, в свою очередь, $\mathcal C$ есть операторная функция, конечным образом описываемая только через метрические и топологические характеристики $\Gamma.$ Подход к получению этого представления u аналогичен подходу, реализованному автором ранее (2006) в случае, когда $\partial\Gamma\ne\varnothing$ и в точках $\partial\Gamma$ ставятся условия Дирихле.

волновое уравнение на геометрическом графе, гладкие условия трансмиссии, начальная задача, существование и единственность решения, интегральная формула решения, обобщенная функция Грина

1. В.Л. Прядиев, “Описание решения начально-краевой задачи для волнового уравнения на одномерной пространственной сети через функцию Грина соответствующей краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения”, Современная математика и ее приложения, 38:3 (2006), 82–94.

2. Ю.В. Покорный, И.Г. Карелина, “О функции Грина задачи Дирихле на графе”, Доклады Академии наук СССР, 318:3 (1991), 542–544.

3. Ю.В. Покорный, О.М. Пенкин, В.Л. Прядиев, А.В. Боровских, К.П. Лазарев, С.А. Шабров, Дифференциальные уравнения на геометрических графах, ФИЗМАТЛИТ, М., 2004.

4. Р. Курант, Д. Гильберт, Методы математической физики. Т. I, ГТТИ, М.-Л., 1933.

5. В.Л. Прядиев, “Один подход к описанию в конечной форме решений волнового уравнения на пространственной сети”, Спектральные и эволюционные проблемы, Труды XV Крымской осенней математической школы-симпозиума (Севастополь, 17–29 сентября), Севастополь-Ласпи, 2005, 132–139.

6. Н.В. Глотов, В.Л. Прядиев, “Описание решений волнового уравнения на конечном и ограниченном геометрическом графе при условиях трансмиссии типа «жидкого» трения”, Вестник Воронежского госудаственного университета. Серия: Физика. Математика, 2006, №2, 185–193.

7. Ю.В. Покорный, В.Л. Прядиев, А.В. Боровских, “Волновое уравнение на пространственной сети”, Доклады РАН, 388:1 (2003), 16–18.

8. И.Г. Карелина, Некоторые дифференциальные неравенства на графах, дисс... канд. физ.-мат. наук, Воронежский государственный университет, Воронеж, 1992.

9. В.Л. Прядиев, Л.Г. Фадеева, “Представление решения волнового уравнения на неограниченном геометрическом графе без граничных вершин”, Сборник научных трудов: Совершенствование преподавания физико-математических и общетехнических дисциплин в педвузе и школе, 4, Борисоглеб. гос. пед. ин-т, Борисоглебск, 2007, 39–53.

10. О.В. Коровина, О некоторых свойствах решений волнового уравнения на геометрическом графе, дисс. ... канд. физ.-мат. наук, Белгородский государственный университет, Белгород, 2009.