О роли множителей Лагранжа и двойственности в некорректных задачах на условный экстремум. К 60-летию метода регуляризации Тихонова

Обсуждается важная роль множителей Лагранжа и двойственности в теории некорректных задач на условный экстремум. Центральное внимание уделяется задаче устойчивого приближенного нахождения нормального (минимального по норме) решения операторного уравнения первого рода $Az=u,$ $z\in {\cal D}\subseteq Z,$ где $A:\,Z\to U$ --- линейный ограниченный оператор, $u\in U$ --- заданный элемент, ${\cal D}\subseteq Z$ --- выпуклое замкнутое мно\-жество, $Z,U$ --- гильбертовы пространства, являющейся классической для теории некор\-ректных задач. Рассматриваются две эквивалентные ей задачи (с точки зрения одновременного существования их единственных решений) на условный экстремум, первая из которых --- это задача ($CE1$) с функциональным ограничением-неравенством $\|z\|^2\to\min,$ $\|Az-u\|^2\leq 0,$ $z\in {\cal D},$ а вторая --- задача ($CE2$) с операторным ограничением-равенством $\|z\|^2\to\min,$ $Az=u,$ $z\in {\cal D}.$ В работе последовательно: 1) показывается, что метод регуляризации Тихонова может естественным образом трактоваться как метод устойчивой аппроксимации точного решения экстремалями функционала Лагранжа для задачи ($CE1$) с одновременным построением в двойственной к ней задаче максимизирующей последовательности из множителей Лагранжа, при этом множитель Лагранжа является величиной обратной параметру регуляризации в методе Тихонова; другими словами, теореме сходимости метода регуляризации Тихонова придается вид утверждения в форме двойственности относительно задачи ($CE1$); 2) обсуждается роль стабилизации по Тихонову для выпуклых задач общего вида при решении задач на условный экстремум; 3) обсуждается основанный на стабилизации по Тихонову двойственной к ($CE2$) задачи устойчивый метод для решения исходного операторного уравнения, который может рассматриваться как метод регуляризации правила множителей Лагранжа для задачи ($CE2$); 4) обсуждаются особенности каждого из двух указанных выше подходов к регуляризации решения исходного операторного уравнения.

некорректная задача, линейное операторное уравнение, регуляризирующий алгоритм, метод регуляризации Тихонова, условный экстремум, правило множителей Лагранжа, двойственность, обобщенная минимизирующая последовательность, двойственная регуляризация, регуляризованный принцип Лагранжа

1. А.Н. Тихонов, “О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации”, Доклады АН СССР, 151:3 (1963), 501–504.

2. А.Н. Тихонов, “О регуляризации некорректно поставленных задач”, Доклады АН СССР, 153:1 (1963), 49–52.

3. А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин, Методы решения некорректных задач, Наука, М., 1974.

4. Некорректные задачи естествознания, ред. А. Н. Тихонов, А. В. Гончарский, Изд-во МГУ, М., 1987.

5. В.К. Иванов, В.В. Васин, В.П. Танана, Теория линейных некорректных задач и ее приложения, Наука, М., 1978.

6. А.Н. Тихонов, А.В. Гончарский, В.В. Степанов, А.Г. Ягола, Регуляризирующие алгоритмы и априорная информация, Наука, М., 1983.

7. А.Б. Бакушинский, А.В. Гончарский, Некорректные задачи. Численные методы и приложения, Изд-во Моск. ун-та, М., 1989.

8. Ф.П. Васильев, Методы оптимизации: В 2-х кн., МЦНМО, М., 2011.

9. М.И. Сумин, Некорректные задачи и методы их решения. Материалы к лекциям для студентов старших курсов, Изд-во Нижегородского госуниверситета, Нижний Новгород., 2009.

10. М.И. Сумин, “Принцип Лагранжа и его регуляризация как теоретическая основа устойчивого решения задач оптимального управления и обратных задач”, Вестник российских университетов. Математика, 26:134 (2021), 151–171.

11. М.И. Сумин, “О некорректных задачах, экстремалях функционала Тихонова и регуляризованных принципах Лагранжа”, Вестник российских университетов. Математика, 27:137 (2022), 58–79.

12. М.И. Сумин, “Регуляризация в линейно выпуклой задаче математического программирования на основе теории двойственности”, Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 47:4 (2007), 602–625.

13. А.Н. Тихонов, “Об устойчивости задачи оптимизации функционалов”, Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 6:4 (1966), 631–634.

14. М.И. Сумин, “Регуляризованная параметрическая теорема Куна–Таккера в гильбертовом пространстве”, Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 51:9 (2011), 1594–1615.

15. М.И. Сумин, “Устойчивое секвенциальное выпуклое программирование в гильбертовом пространстве и его приложение к решению неустойчивых задач”, Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 54:1 (2014), 25–49.

16. М.И. Сумин, “Зачем нужна регуляризация принципа Лагранжа и принципа максимума Понтрягина и что она дает”, Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки, 23:124 (2018), 757–772.

17. М.И. Сумин, “Регуляризованные принцип Лагранжа и принцип максимума Понтрягина в оптимальном управлении и обратных задачах”, Тр. ИММ УрО РАН, 25, 2019, 279–296.

18. В.М. Алексеев, В.М. Тихомиров, С.В. Фомин, Оптимальное управление, Наука, М., 1979.

19. М.И. Сумин, “Недифференциальные теоремы Куна–Таккера в задачах на условный экстремум и субдифференциалы негладкого анализа”, Вестник российских университетов. Математика, 25:131 (2020), 307–330.

20. Ж.-П. Обен, Нелинейный анализ и его экономические приложения, Мир, М., 1988.

21. Дж. Варга, Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями, Наука, М., 1977.

22. М.И. Сумин, “О регуляризации классических условий оптимальности в выпуклых задачах оптимального управления”, Тр. ИММ УрО РАН, 26, 2020, 252–269.