Исследуется модель типа Хопфилда динамики электрической активности головного мозга, представляющая собой систему дифференциальных уравнений вида \begin{equation*} \dot{v}_{i}(t)= -\alpha v_{i}(t)+\sum_{j=1}^{n}w_{ji}f_{\delta}\big(v_{j}(t-\tau_{ji})\big)+I_{i}(t), \quad i=\overline{1,n}, \quad t\geq 0. \end{equation*} Параметры модели считаются заданными: $\alpha>0,$ $\tau_{ii}=0,$ $w_{ii}= 0,$ $\tau_{ji}\geq 0$ и $w_{ji}>0$ при $i\neq j,$ $I_{i}(t)\geq 0$ при $t\geq 0.$ Функция активации $f_{\delta}$ ($\delta$ --- время перехода нейрона в состояние активности) рассмотрена двух типов: $$ \delta= 0 \ \Rightarrow \ f_{0}(v)=\left\{ \begin{array}{ll} 0, & v\leq\theta,\\ 1, & v>\theta; \end{array}\right. \ \ \ \ \ \delta> 0 \ \Rightarrow \ f_{\delta}(v)=\left\{ \begin{array}{ll} 0, & v\leq \theta,\\ {\delta}^{-1}( v-\theta), & \theta < v \leq \theta+\delta,\\ 1, & v>\theta+\delta. \end{array}\right.$$ Для рассматриваемой системы дифференциальных уравнений исследуется краевая задача с условиями ${v_{i}(0)-v_{i}(T)=\gamma_{i},}$ $i=\overline{1,n}.$ В обоих случаях $\delta= 0$ (функция $f_{0}$ разрывная) и $\delta > 0$ (функция $f_{0}$ непрерывная) решение существует, а если то рассматриваемая задача имеет единственное решение. В работе также получены оценки решения и его производной. Используются теоремы о неподвижных точках непрерывных отображений метрических и нормированных пространств и о неподвижных точках монотонных отображений частично упорядоченных пространств. Полученные результаты применены к исследованию периодических решений рассматриваемой дифференциальной системы.

В статье предложен подход к идентификации нестационарной линейной динамической системы. Ее математическая модель типа «вход-выход» представлена в виде уравнения Вольтерра I рода. Задача непараметрической идентификации ядер Вольтерра решается на основе активного эксперимента с помощью тестовых сигналов кусочно-линейного вида (имеющих фронт нарастания). Постановка задачи исходит из условий моделирования динамики технических устройств тепло- и электроэнергетики. Выбор допустимого семейства входных сигналов обусловлен сложностью формирования сигналов кусочно-постоянного типа для реальных энергетических объектов. Исходная задача сводится к решению интегральных уравнений Вольтерра I рода с двумя переменными пределами интегрирования. Построена формула обращения выделенных интегральных уравнений. Получены достаточные условия разрешимости соответствующих уравнений относительно ядер Вольтерра в классе непрерывных функций.

Обсуждается важная роль множителей Лагранжа и двойственности в теории некорректных задач на условный экстремум. Центральное внимание уделяется задаче устойчивого приближенного нахождения нормального (минимального по норме) решения операторного уравнения первого рода $Az=u,$ $z\in {\cal D}\subseteq Z,$ где $A:\,Z\to U$ --- линейный ограниченный оператор, $u\in U$ --- заданный элемент, ${\cal D}\subseteq Z$ --- выпуклое замкнутое мно\-жество, $Z,U$ --- гильбертовы пространства, являющейся классической для теории некор\-ректных задач. Рассматриваются две эквивалентные ей задачи (с точки зрения одновременного существования их единственных решений) на условный экстремум, первая из которых --- это задача ($CE1$) с функциональным ограничением-неравенством $\|z\|^2\to\min,$ $\|Az-u\|^2\leq 0,$ $z\in {\cal D},$ а вторая --- задача ($CE2$) с операторным ограничением-равенством $\|z\|^2\to\min,$ $Az=u,$ $z\in {\cal D}.$ В работе последовательно: 1) показывается, что метод регуляризации Тихонова может естественным образом трактоваться как метод устойчивой аппроксимации точного решения экстремалями функционала Лагранжа для задачи ($CE1$) с одновременным построением в двойственной к ней задаче максимизирующей последовательности из множителей Лагранжа, при этом множитель Лагранжа является величиной обратной параметру регуляризации в методе Тихонова; другими словами, теореме сходимости метода регуляризации Тихонова придается вид утверждения в форме двойственности относительно задачи ($CE1$); 2) обсуждается роль стабилизации по Тихонову для выпуклых задач общего вида при решении задач на условный экстремум; 3) обсуждается основанный на стабилизации по Тихонову двойственной к ($CE2$) задачи устойчивый метод для решения исходного операторного уравнения, который может рассматриваться как метод регуляризации правила множителей Лагранжа для задачи ($CE2$); 4) обсуждаются особенности каждого из двух указанных выше подходов к регуляризации решения исходного операторного уравнения.

Рассматривается задача Коши для алгебро-дифференциального уравнения первого порядка \begin{equation*} A\frac{du}{dt}=(B+\varepsilon C+\varepsilon^2 D)u(t,\varepsilon), \end{equation*} \begin{equation*} u(t_0,\varepsilon)=u^0(\varepsilon)\in E_1, \end{equation*} где $A,B,C,D$ --- замкнутые линейные операторы, действующие из банахова пространства $E_1$ в банахово пространство $E_2$ с всюду плотными в $E_1$ областями определения, $u^0$ --- голоморфная в точке $\varepsilon=0$ функция, $\varepsilon$ --- малый параметр, $t\in[t_0;t_{max}].$ Такими уравнениями описываются, в частности, процессы фильтрации и влагопереноса, поперечные колебания пластин, колебания в молекулах ДНК, явления в электромеханических системах и т.~д. Оператор $A$ фредгольмов с нулевым индексом. Целью работы является изучение явления погранслоя, вызываемое наличием малого параметра. Приводятся необходимые сведения и утверждения. Получено уравнение ветвления. Рассматриваются два случая: а) функции погранслоя одного вида, б) функций погранслоя двух видов. Для решения уравнения ветвления применяется диаграмма Ньютона. В обоих случаях выявлены условия, при которых возникает явление погранслоя --- это условия регулярности вырождения. Случай а) иллюстрируется примером задачи Коши с конкретными операторными коэффициентами, действующими в пространстве $\mathbb{R}^4.$

Рассматривается многозначное отображение следующего вида где $X \subset \mathbb{R}^m$ --- компакт; $Y \subset \mathbb{R}^n$ --- выпуклый компакт; градиенты $f'_{iy}(x,y),$ $i \in I,$ функций $f_i(x,y)$ по $y$ удовлетворяют условию Липшица на $Y$; $I$ --- конечное множество индексов. С использованием метода линеаризации доказаны теоремы существования непрерывных и липшицевых селекторов, проходящих через любую точку графика многозначного отображения $a.$ Получены как локальные, так и глобальные теоремы. Приводятся примеры, подтверждающие существенность принятых предположений, а также примеры, иллюстрирующие применение полученных утверждений в оптимизационных задачах.

Обсуждается важная роль множителей Лагранжа и двойственности в теории некорректных задач на условный экстремум. Центральное внимание уделяется задаче устойчивого приближенного нахождения нормального (минимального по норме) решения операторного уравнения первого рода $Az=u,$ $z\in {\cal D}\subseteq Z,$ где $A:\,Z\to U$ --- линейный ограниченный оператор, $u\in U$ --- заданный элемент, ${\cal D}\subseteq Z$ --- выпуклое замкнутое мно\-жество, $Z,U$ --- гильбертовы пространства, являющейся классической для теории некор\-ректных задач. Рассматриваются две эквивалентные ей задачи (с точки зрения одновременного существования их единственных решений) на условный экстремум, первая из которых --- это задача ($CE1$) с функциональным ограничением-неравенством $\|z\|^2\to\min,$ $\|Az-u\|^2\leq 0,$ $z\in {\cal D},$ а вторая --- задача ($CE2$) с операторным ограничением-равенством $\|z\|^2\to\min,$ $Az=u,$ $z\in {\cal D}.$ В работе последовательно: 1) показывается, что метод регуляризации Тихонова может естественным образом трактоваться как метод устойчивой аппроксимации точного решения экстремалями функционала Лагранжа для задачи ($CE1$) с одновременным построением в двойственной к ней задаче максимизирующей последовательности из множителей Лагранжа, при этом множитель Лагранжа является величиной обратной параметру регуляризации в методе Тихонова; другими словами, теореме сходимости метода регуляризации Тихонова придается вид утверждения в форме двойственности относительно задачи ($CE1$); 2) обсуждается роль стабилизации по Тихонову для выпуклых задач общего вида при решении задач на условный экстремум; 3) обсуждается основанный на стабилизации по Тихонову двойственной к ($CE2$) задачи устойчивый метод для решения исходного операторного уравнения, который может рассматриваться как метод регуляризации правила множителей Лагранжа для задачи ($CE2$); 4) обсуждаются особенности каждого из двух указанных выше подходов к регуляризации решения исходного операторного уравнения.

Рассматривается задача Коши для алгебро-дифференциального уравнения первого порядка \begin{equation*} A\frac{du}{dt}=(B+\varepsilon C+\varepsilon^2 D)u(t,\varepsilon), \end{equation*} \begin{equation*} u(t_0,\varepsilon)=u^0(\varepsilon)\in E_1, \end{equation*} где $A,B,C,D$ --- замкнутые линейные операторы, действующие из банахова пространства $E_1$ в банахово пространство $E_2$ с всюду плотными в $E_1$ областями определения, $u^0$ --- голоморфная в точке $\varepsilon=0$ функция, $\varepsilon$ --- малый параметр, $t\in[t_0;t_{max}].$ Такими уравнениями описываются, в частности, процессы фильтрации и влагопереноса, поперечные колебания пластин, колебания в молекулах ДНК, явления в электромеханических системах и т.~д. Оператор $A$ фредгольмов с нулевым индексом. Целью работы является изучение явления погранслоя, вызываемое наличием малого параметра. Приводятся необходимые сведения и утверждения. Получено уравнение ветвления. Рассматриваются два случая: а) функции погранслоя одного вида, б) функций погранслоя двух видов. Для решения уравнения ветвления применяется диаграмма Ньютона. В обоих случаях выявлены условия, при которых возникает явление погранслоя --- это условия регулярности вырождения. Случай а) иллюстрируется примером задачи Коши с конкретными операторными коэффициентами, действующими в пространстве $\mathbb{R}^4.$

Рассматривается многозначное отображение следующего вида где $X \subset \mathbb{R}^m$ --- компакт; $Y \subset \mathbb{R}^n$ --- выпуклый компакт; градиенты $f'_{iy}(x,y),$ $i \in I,$ функций $f_i(x,y)$ по $y$ удовлетворяют условию Липшица на $Y$; $I$ --- конечное множество индексов. С использованием метода линеаризации доказаны теоремы существования непрерывных и липшицевых селекторов, проходящих через любую точку графика многозначного отображения $a.$ Получены как локальные, так и глобальные теоремы. Приводятся примеры, подтверждающие существенность принятых предположений, а также примеры, иллюстрирующие применение полученных утверждений в оптимизационных задачах.

Настоящая работа посвящена исследованию свойства накрывания линейных и нелинейных отображений банаховых пространств. Рассмотрен линейный непрерывный оператор, действующий из одного банахового пространства в другое. Показано, что для любой точки из относительной внутренности образа заданного выпуклого замкнутого конуса существует коническая окрестность этой точки, относительно которой заданный оператор обладает свойством накрывания в нуле с константой накрывания, зависящей от точки . Приведен пример, показывающий, что линейный непрерывный оператор может не обладать свойством накрывания относительно образа заданного конуса в нуле, т. е. для сужений линейных непрерывных операторов на замкнутые выпуклые конусы утверждение теоремы Банаха об открытом отображении может не выполняться. Приведено следствие полученной теоремы для случая, когда пространство, в которое действует заданный оператор, конечномерно. Рассмотрены нелинейные дважды дифференцируемые отображения банаховых пространств. Для них приведены условия локального накрывания вдоль некоторой кривой относительно заданного конуса. Соответствующие достаточные условия сформулированы в терминах 2 -регулярных направлений. Они остаются содержательными и в случае вырождения первой производной рассматриваемого отображения в заданной точке.

Настоящая работа посвящена изучению свойств рекуррентных движений динамической системы $g^t,$ заданной в отделимом полуметрическом пространстве $\Gm.$ \noindent На основании определений минимального множества и рекуррентного движения, введенных Дж.~Биркгофом в начале прошлого века, получено новое достаточное условие рекуррентности движений системы $g^t$ в $\Gm.$ Это условие устанавливает новое свойство движений, которое жестко связывает произвольные и рекуррентные движения. На основании данного свойства показано, что если в пространстве $\Gm$ положительная (отрицательная) полутраектория некоторого движения относительно секвенциально компактна, то $\om$-предельное ($\al$-предельное) множеством этого движения является секвенциально компактным минимальным множеством. \noindent В качестве одного из приложений полученных результатов изучено поведение движений динамической системы $g^t,$ заданной на топологическом многообразии $V.$ Это изучение позволило существенно упростить классическое представление о взаимоотношении движений на $V,$ фактически изложенное Дж.~Биркгофом в 1922 г. и с тех пор не менявшееся.