Конусное обобщение теоремы Банаха и накрывание вдоль кривых

Настоящая работа посвящена исследованию свойства накрывания линейных и нелинейных отображений банаховых пространств. Рассмотрен линейный непрерывный оператор, действующий из одного банахового пространства в другое. Показано, что для любой точки из относительной внутренности образа заданного выпуклого замкнутого конуса существует коническая окрестность этой точки, относительно которой заданный оператор обладает свойством накрывания в нуле с константой накрывания, зависящей от точки . Приведен пример, показывающий, что линейный непрерывный оператор может не обладать свойством накрывания относительно образа заданного конуса в нуле, т. е. для сужений линейных непрерывных операторов на замкнутые выпуклые конусы утверждение теоремы Банаха об открытом отображении может не выполняться. Приведено следствие полученной теоремы для случая, когда пространство, в которое действует заданный оператор, конечномерно. Рассмотрены нелинейные дважды дифференцируемые отображения банаховых пространств. Для них приведены условия локального накрывания вдоль некоторой кривой относительно заданного конуса. Соответствующие достаточные условия сформулированы в терминах 2 -регулярных направлений. Они остаются содержательными и в случае вырождения первой производной рассматриваемого отображения в заданной точке.

теорема Банаха об открытом отображении, выпуклый конус, анормальная точка, 2-регулярность, накрывание вдоль кривой

1. А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин, Элементы теории функций и функционального анализа, 5-е изд., Наука, М., 2007.

2. И. Экланд, Р. Темам, Выпуклый анализ и вариационные проблемы, Мир, М., 1979, 399 с.

3. А.В. Дмитрук, А.А. Милютин, Н.П. Осмоловский, “Теорема Люстерника и теория экстремума”, УМН, 35:6(216) (1980), 11–46.

4. Л.А. Люстерник, “Об условных экстремумах функционалов”, Матем. сборник, 41:3 (1934), 390–401.

5. А.Д. Иоффе, В.М. Тихомиров, Теория экстремальных задач, Наука, М., 1974.

6. Е.Р. Аваков, “Теоремы об оценках в окрестности особой точки отображения”, Матем. заметки, 47:5 (1990), 3–13.