Явление погранслоя в алгебро-дифференциальном уравнении первого порядка

Рассматривается задача Коши для алгебро-дифференциального уравнения первого порядка \begin{equation*} A\frac{du}{dt}=(B+\varepsilon C+\varepsilon^2 D)u(t,\varepsilon), \end{equation*} \begin{equation*} u(t_0,\varepsilon)=u^0(\varepsilon)\in E_1, \end{equation*} где $A,B,C,D$ --- замкнутые линейные операторы, действующие из банахова пространства $E_1$ в банахово пространство $E_2$ с всюду плотными в $E_1$ областями определения, $u^0$ --- голоморфная в точке $\varepsilon=0$ функция, $\varepsilon$ --- малый параметр, $t\in[t_0;t_{max}].$ Такими уравнениями описываются, в частности, процессы фильтрации и влагопереноса, поперечные колебания пластин, колебания в молекулах ДНК, явления в электромеханических системах и т.~д. Оператор $A$ фредгольмов с нулевым индексом. Целью работы является изучение явления погранслоя, вызываемое наличием малого параметра. Приводятся необходимые сведения и утверждения. Получено уравнение ветвления. Рассматриваются два случая: а) функции погранслоя одного вида, б) функций погранслоя двух видов. Для решения уравнения ветвления применяется диаграмма Ньютона. В обоих случаях выявлены условия, при которых возникает явление погранслоя --- это условия регулярности вырождения. Случай а) иллюстрируется примером задачи Коши с конкретными операторными коэффициентами, действующими в пространстве $\mathbb{R}^4.$

алгебро-дифференциальное уравнение первого порядка, малый параметр, фредгольмов оператор, явление погранслоя, уравнение ветвления, условия регулярности вырождения

1. P.L. Christiansen, P.S. Lomdahl, V. Muto, “On a Toda lattice model with a transversal degree of freedom”, Nonlinearity, 4:2 (1991), 477–501.

2. Нгуен Хак Диеп, В.Ф. Чистяков, “О моделировании с использованием дифференциально-алгебраических уравнений в частных производных”, Вестник ЮурГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование, 6:1 (2013), 98–111.

3. В.И. Усков, “Исследование жесткости алгебро-дифференциальной системы первого порядка с возмущением в правой части”, Вестник российских университетов. Математика, 26:34 (2021), 172–181.

4. С.П. Зубова, “О роли возмущений в задаче Коши для уравнения с фредгольмовым оператором при производной”, Доклады Российской Академии наук, 454:4 (2014), 383–386.

5. А.Б. Васильева, В.Ф. Бутузов, Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений, Наука, М., 1973.

6. С.М. Никольский, “Линейные уравнения в линейных нормированных пространствах”, Известия Академии наук СССР. Серия математическая, 7:3 (1943), 147–166.

7. С.П. Зубова, В.И. Усков, “Асимптотическое решение задачи Коши для уравнения первого порядка с малым параметром в банаховом пространстве. Регулярный случай”, Математические заметки, 103:3 (2018), 393–404.

8. С.Г. Крейн, Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве, Наука, М., 1971.

9. Н.Г. Чеботарев, Теория алгебраических функций, Либроком, М., 2009.