О непрерывных и липшицевых селекциях многозначных отображений, заданных системой неравенств

Рассматривается многозначное отображение следующего вида где $X \subset \mathbb{R}^m$ --- компакт; $Y \subset \mathbb{R}^n$ --- выпуклый компакт; градиенты $f'_{iy}(x,y),$ $i \in I,$ функций $f_i(x,y)$ по $y$ удовлетворяют условию Липшица на $Y$; $I$ --- конечное множество индексов. С использованием метода линеаризации доказаны теоремы существования непрерывных и липшицевых селекторов, проходящих через любую точку графика многозначного отображения $a.$ Получены как локальные, так и глобальные теоремы. Приводятся примеры, подтверждающие существенность принятых предположений, а также примеры, иллюстрирующие применение полученных утверждений в оптимизационных задачах.

условие Липшица, многозначное отображение, непрерывные и липшицевые селекции, слабо выпуклое множество, проксимально гладкое множество

1. R.T. Rockafellar, J.B. Wets, Variation Analysis, Springer, New York, 2009.

2. E. Michael, “Continous Selection 1”, Ann. Math., 1956, №63, 361–381.

3. М.В. Балашов, Г.Е. Иванов, “Слабо выпуклые и аппксимально гладкие множества в банаховых пространствах”, Изв. РАН, Матем., 73:3 (2009), 23–66.

4. Г.Е. Иванов, Слабо выпуклые множества и функции: теория и приложения, Физматлит, М., 2006.

5. F.H. Clarke, R.J. Stern, P.R. Wolenski, “Proximal smoothness and lowee-C^2 property”, Convex Anal., 2:1 (1085), 231–259.

6. В.В. Остапенко, “Об одном условии почти выпуклости”, Укр. матем. журнал, 35:2 (1983), 163–172.

7. Р.А. Хачатрян, “О непрерывных селекциях многозначного отображения с почти выпуклыми значениями”, Изв. НАН Армении. Математика, 54:1 (2019), 60–75.

8. Б.Н. Пшеничный, Методы линеаризации, Наука, М., 1980.

9. Р.А. Хачатрян, “О производных по направлению селекций многозначных отображений”, Изв. НАН Армении. Математика, 54:3 (2016), 64–82.

10. Б.Н. Пшеничный, Выпуклый анализ и экстремальные задачи, Наука, М., 1980.

11. Ю.Г. Борисович, Б.Д. Гельман, А.Д. Мышкис, В.В. Обуховский, Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений, URSS, М., 2005, 216 с.

12. Ю.Е. Нестеров, Методы выпуклой оптимизации, МЦНМО, М., 2010.

13. В.В. Остапенко, Е.В. Остапенко, С.Н. Амиргалиева, “Приближенные методы пешения дифференциальных игр со случайной помехой”, System Researsh and information Technologies, 2005, №4, 65–74.

14. Б.Ш. Мордухович, Методы аппроксимации в задачах оптимизации и управления, Наука, М., 1988.

15. S. Adly, F. Nacry, L. Thibault, “Discontinous sweeping process with prox-regular sets”, ESAIM: Contol, Optimization and Calculus of Variations, 23 (2017), 1293–1329.

16. Р.А. Хачатрян, “O существовании непрерывных селекций многозначного отображения, связанного с задачей минимизации функционала”, Вестник российских университетов. Математика, 27:139 (2022), 284–299.