Линейные и нелинейные интегральные функционалы в пространстве непрерывных вектор-функций

Статья посвящена исследованию нелинейного интегрального функционала вида , где — замкнутое ограниченное множество в , порождающая функция (где — вещественное сепарабельное банахово пространство) удовлетворяет условиям Каратеодори. Изучаются действие и ограниченность функционала на пространстве непрерывных вектор-функций и на пространстве существенно ограниченных вектор-функций (с естественными нормами). Основными результатами статьи являются 1) эквивалентность действия и ограниченности функционала на пространствах и ; 2) равенство для этих пространств числовой характеристики функционала в виде супремума нормы значений функционала на замкнутом шаре; 3) выражение этой числовой характеристики в терминах функции , порождающей функционал. Для распространения свойств функционала с на существенно используются результаты И.В. Шрагина об операторе Немыцкого и порождающей функции, а также его идеи и методы, основанные на последовательном доказательстве специальных вспомогательных утверждений, которые используют, в частности, теоремы непрерывного и измеримого выбора. Полученные для функционала результаты конкретизируются для случая линейного интегрального функционала на пространствах банаховозначных функций (когда для некоторой функции ), в частности, установлено, что норма этого функционала на пространствах и равна .

банахово пространство, ограниченный функционал, норма линейного функционала, сопряженное пространство

1. А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин, Элементы теории функций и функционального анализа, 5-е изд., Наука, М., 1981.

2. Л.В. Канторович, Г.П. Акилов, Функциональный анализ, 3-е изд., Наука, М., 1984.

3. J. Diestel, J.J. Uhl, Vector Measures, Math. Surveys. V. 15, AMS, Providence, 1977.

4. И.В. Шрагин, Оператор Немыцкого из C в LM, Ученые записки Моск. обл. педаг. ин-та, 77:5 (1969), 161–178.

5. И.В. Шрагин, Условия измеримости суперпозиций, Доклады Академии наук СССР, 197:5 (1971), 295–298.

6. И.В. Шрагин, Суперпозиционная измеримость, Изв. вузов. Матем., 1975, №1, 82–92.

7. И.В. Шрагин, Об одном применении теорем Лузина, Титце-Урысона и теоремы измеримого выбора, Краевые задачи, Межвузовский сборник научных трудов, Пермский политехнический институт, Пермь, 1979, 171–175.

8. И.В. Шрагин, Ю.В. Непомнящих, D -условия Каратеодори и их связь с D -непрерывностью оператора Немыцкого, Изв. вузов. Матем., 1997, №6, 70–82.

9. A.V. Ponosov, Y.V. Nepomnyashchikh, The necessity of the Carathґeodory conditions for the lower semicontinuity in measure of the multivalued Nemytskii operator, Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, 30:2 (1997), 727–734.

10. И.В. Шрагин, Суперпозиционная измеримость многозначной функции при обобщенных условиях Каратеодори, Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки, 19:2 (2014), 476–478.

11. И.Д. Серова, Суперпозиционная измеримость многозначной функции при обобщенных условиях Каратеодори, Вестник российских университетов. Математика, 26:135 (2021), 305–314.

12. В.Л. Левин, Выпуклый анализ в пространствах измеримых функций и его применение в математике и экономике, Наука, М., 1985.

13. И.П. Натансон, Теория функций вещественной переменной, 3-е изд., Наука, М., 1974.

14. Ю.В. Непомнящих, Свойства оператора Урысона в пространствах равномерно непрерывных и почти периодических функций, Деп. в ВИНИТИ 15.09.92, № 2787–В92, Перм. ун-т, Пермь, 1992.