О топологических свойствах множества притяжения в пространстве ультрафильтров

Рассматривается представление множества притяжения (МП) в классе направленностей в пространстве ультрафильтров на широко понимаемом измеримом пространстве (ИП) с топологиями стоуновского и волмэновского типов. Получено представление внутренности и некоторые его следствия. При этом возможности выбора обычных решений определяются посредством задания ограничений асимптотического характера (ОАХ). Упомянутые ОАХ могут быть связаны с ослаблением стандартных ограничений(в задачах управления — краевые и промежуточные условия, фазовые ограничения, в задачах математического программирования — ограничения типа неравенств), но могут возникать и изначально в виде непустых направленных (как правило) семейств множеств. В работе трактуются как ОАХ и некоторые семейства множеств, связанные с построением ультрафильтров (максимальных фильтров) ИП, мажорирующих заданный априори фильтр. Показано, что в этом случае при условии, что пересечение всех множеств данного фильтра пусто, получающийся вариант МП является замкнутым, но не канонически замкнутым множеством, в каждой из топологий волмэновского и стоуновского типов. Это связывается с тем фактом, установленным в работе, что в упомянутом случае исходного фильтра со свойством пустого пересечения всех своих множеств у порождаемого данным фильтром МП внутренность пуста (в то же время известны примеры задач управления, где реализуется противоположное свойство: при пустом пересечении множеств семейства, определяющего ОАХ, внутренность возникающего МП непуста).

внутренность, множество притяжения, ультрафильтр

1. Н.Н. Красовский, Теория управления движением, Наука, М., 1986.

2. А.И. Панасюк, В.И. Панасюк, Асимптотическая магистральная оптимизация управляемых систем, Наука и техника, Минск, 1986.

3. Дж. Варга, Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями, Наука, М., 1977, 624 с.

4. А.Г. Ченцов, А.П. Бакланов, “Об одной задаче асимптотического анализа, связанной с построением области достижимости”, Оптимальное управление, Сборник статей. К 105-летию со дня рождения академика Льва Семеновича Понтрягина, Труды МИАН, 291, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2015, 292–311.

5. А.Г. Ченцов, А.П. Бакланов, И.И. Савенков, “Задача о достижимости с ограничениями асимптотического характера”, Известия Института математики и информатики Удмуртского государственного университета, 47:1 (2016), 54–118.

6. А.Г. Ченцов, “Компактификаторы в конструкциях расширений задач о достижимости с ограничениями асимптотического характера”, Тр. ИММ УрО РАН, 22, 2016, 294–309.

7. А.Г. Ченцов, “Об одном примере построения множеств притяжения с использованием пространства Стоуна”, Вестник Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки, 4 (2012), 108–124.

8. А.Г. Ченцов, “К вопросу о соблюдении ограничений в классе обобщенных элементов”, Вестник Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки, 3 (2014), 90–109.

9. К. Куратовский, А. Мостовский, Теория множеств, Мир, М., 1970.

10. А.В. Булинский, А.Н. Ширяев, Теория случайных процессов, Физматлит, М., 2005.

11. Р. Энгелькинг, Общая топология, Мир, М., 1986.

12. Н. Бурбаки, Общая топология. Основные структуры, Наука, М., 1968.

13. Дж.Л. Келли, Общая топология, Наука, М., 1981.

14. А.Г. Ченцов, “Битопологические пространства ультрафильтров и максимальных сцепленных систем”, Труды ИММ УрО РАН, 24:1 (2018), 257–272.

15. А.Г. Ченцов, “Некоторые свойства ультрафильтров, связанные с конструкциями расширений”, Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки, 1 (2014), 87–101.

16. А.Г. Ченцов, “Несеквенциальные приближенные решения в абстрактных задачах о достижимости”, Динамические системы: моделирование, оптимизация, управление, Сборник научных трудов, Тр. ИММ УрО РАН, 12, 2006, 216–241.

17. A.G. Chentsov, Asymptotic Attainability, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht-Boston-London, 1997.

18. Р.А. Александрян, Э.А. Мирзаханян, Общая топология: учебное пособие для вузов, Высшая школа, М., 1979.

19. А.Г. Ченцов, “О суперкомпактности пространства ультрафильтров с топологией волмэновского типа”, Известия Института математики и информатики Удмуртского государственного университета, 54 (2019), 74–101.

20. А.Г. Ченцов, “Ультрафильтры и максимальные сцепленные системы: основные свойства и топологические конструкции”, Известия Института математики и информатики Удмуртского государственного университета, 52 (2018), 86–102.