Новые свойства рекуррентных движений и предельных множеств динамических систем

В более ранней статье авторов [А. П. Афанасьев, С. М. Дзюба. “О новых свойствах рекуррентных движений и минимальных множеств динамических систем”, Вестник российских университетов. Математика, 26:133 (2021), 5-14] установлена связь между движениями общего вида и рекуррентными движениями в компактном метрическом пространстве и доказан весьма простой характер поведения рекуррентных движений. В данной работе на основании этих результатов вводится новое определение рекуррентного движения, которое, в отличие от широко используемого в современной литературе, дает достаточно полную информацию относительно строения рекуррентного движения как функции времени и поэтому является более наглядным. При этом мы показываем, что в абстрактном метрическом пространстве предлагаемое определение эквивалентно определению Биркгофа, а в полном метрическом пространстве эквивалентно общепринятому современному определению. Получены необходимые и достаточные условия рекуррентности (в смысле предложенного в статье определения) движения в компактном метрическом пространстве. Доказано, что в компактном метрическом пространстве α - и ω -предельные множества любого движения являются минимальными (это утверждение было анонсировано в более ранней статье авторов). Из минимальности α - и ω -предельных множеств выведено, что в компактном метрическом пространстве каждая положительно (отрицательно) устойчивая по Пуассону точка лежит на траектории рекуррентного движения, т. е. является точкой минимального множества, и таким образом, в компактном метрическом пространстве с конечной положительной инвариантной мерой почти все точки являются точками минимальных множеств.

динамические системы, минимальные множества, рекуррентные и устойчивые по Пуассону движения

1. A.A. Markov, “Sur une proprietґe gґenґerale des ensembles minimaux de Birkhoff”, C.R. Acad. Sci., 193 (1931), 823-825.

2. В.В. Немыцкий, В. В. Степанов, Качественная теория дифференциальных уравнений, УРСС, М., 2004.

3. Дж. Биркгоф, Динамические системы, Изд. дом «Удмуртский университет», Ижевск, 1999.

4. А.П. Афанасьев, С.М. Дзюба, “О новых свойствах рекуррентных движений и минимальных множеств динамических систем”, Вестник российских университетов. Математика, 26:133 (2021), 5-14.

5. А.П. Афанасьев, С.М. Дзюба, “Метод построения минимальных множеств динамических систем”, Дифференциальные уравнения, 51:7 (2015), 835-841.

6. А.П. Афанасьев, С.М. Дзюба, Устойчивость по Пуассону в динамических и непрерывных периодических системах, ЛКИ, М., 2007.

7. Дж. Хейл, Теория функционально-дифференциальных уравнений, Мир, М., 1984.

8. Э.А. Коддингтон, Н. Левинсон, Теория обыкновенных дифференциальных уравнений, ЛКИ, М., 2007.

9. С. X. Арансон, “Об отсутствии незамкнутых устойчивых по Пуассону полутраекторий и траекторий двоякоасимототических к двойному предельному циклу у динамических систем первой степени негрубости на ориентируемых двумерных многообразиях”, Математический сборник, 76(118):2 (1968), 214-230.