Спектральные свойства дифференциального оператора четного порядка с разрывной весовой функцией

В статье предлагается новый метод исследования дифференциальных операторов с разрывной весовой функцией. Потенциал оператора предполагается кусочно-гладкой функцией на конечном отрезке задания оператора. В точке разрыва весовой функции требуется выполнение условий «сопряжения». Исследуются разделённые граничные условия общего вида. Изучены спектральные свойства дифференциального оператора, заданного на конечном отрезке. При больших значениях спектрального параметра выведена асимптотика фундаментальной системы решений дифференциальных уравнений, задающих исследуемый оператор. С помощью этой асимптотики изучены условия «сопряжения» рассматриваемого дифференциального оператора. Затем исследованы граничные условия изучаемого оператора. В результате получено уравнение на собственные значения оператора, которое представляет собой целую функцию. Изучена индикаторная диаграмма уравнения на собственные значения, которая является правильным многоугольником. В различных секторах индикаторной диаграммы найдена асимптотика собственных значений исследуемого дифференциального оператора. При помощи найденной асимптотики собственных значений методом Лидского-Садовничего получена формула первого регуляризованного следа этого оператора. В случае предельных переходов полученная формула приводит к формуле следа для классического оператора с гладким потенциалом и постоянной весовой функцией.

дифференциальный оператор, весовая функция, спектральный параметр, асимптотика решений, спектр оператора, регуляризованный след оператора

1. М.А. Наймарк, Линейные дифференциальные операторы, 2-е изд., Наука, М., 1969, 528 с.

2. В.Б. Лидский, В.А. Садовничий, “Асимптотические формулы для корней одного класса целых функций”, Математический сборник, 75(117):4 (1968), 558-566.

3. В.А. Юрко, “Спектральный анализ дифференциальных операторов высших порядков с условиями разрыва во внутренней точке”, Труды Крымской осенней математической школы-симпозиума, СМФН, 63, Российский университет дружбы народов, М., 2017, 362-372.

4. H.P. W. Gottlieb, “Iso-spectral Operators: Some Model Examples with Discontinuous Coefficients”, Journal of Math. Anal. and Appl., 132 (1988), 123-137.

5. В.А. Ильин, “О сходимости разложений по собственным функциям в точках разрыва коэффициентов дифференциального оператора”, Математические заметки, 22:5 (1977), 679-698.

6. В.А. Ильин, “Необходимые и достаточные условия базисности Рисса корневых векторов разрывных операторов второго порядка”, Дифференциальные уравнения, 22:12 (1986), 2059-2071.

7. В.Д. Будаев, “О безусловной базисности на замкнутом интервале систем собственных и присоединенных функций оператора второго порядка с разрывными коэффициентами”, Дифференциальные уравнения, 23:6 (1987), 941-952.

8. С.И. Митрохин, “О спектральных свойствах дифференциальных операторов с разрывными коэффициентами”, Дифференциальные уравнения, 28:3 (1992), 530-532.

9. С.И. Митрохин, “О некоторых спектральных свойствах дифференциальных операторов второго порядка с разрывной весовой функцией”, Доклады РАН, 356:1 (1997), 13-15.

10. А.М. Савчук, А.А. Шкаликов, “Операторы Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами”, Математические заметки, 66:6 (1999), 897-912.

11. С.И. Митрохин, “Об асимптотике собственных значений дифференциального оператора четвертого порядка со знакопеременной весовой функцией”, Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика, 2018, №6, 46-58.

12. Г.А. Айгунов, М.М. Гехтман, “К вопросу о максимально возможной скорости роста системы собственных функций оператора Штурма-Лиувилля с непрерывной весовой функцией на конечном отрезке”, УМН, 52:3(315) (1997), 161-162.

13. А.П. Гуревич, А.П. Хромов, “Операторы дифференцирования первого и второго порядков со знакопеременной весовой функцией”, Математические заметки, 56:1 (1994), 3-15.

14. С.И. Митрохин, “Асимптотика собственных значений дифференциального оператора со знакопеременной весовой функцией”, Известия вузов. Математика, 2018, №6, 31-47.

15. С.И. Митрохин, “Об исследовании спектральных свойств дифференциальных операторов с гладкой весовой функцией”, Вестник Российских университетов. Математика, 25:129 (2020), 25-47.

16. В.А. Винокуров, В.А. Садовничий, “Асимптотика любого порядка собственных значений и собственных функций краевой задачи Штурма-Лиувилля на отрезке с суммируемым потенциалом”, Известия РАН. Серия: Математика, 64:4 (2000), 47-108.

17. С.И. Митрохин, “О спектральных свойствах дифференциального оператора четвертого порядка с суммируемыми коэффициентами”, Дифференциальные уравнения и динамические системы, Сборник статей, Труды МИАН, 270, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2010, 188-197.

18. С.И. Митрохин, “Спектральные свойства семейства дифференциальных операторов четного порядка с суммируемым потенциалом”, Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика, 2017, №4, 3-15.

19. С.И. Митрохин, “О спектральных свойствах дифференциальных операторов нечетного порядка с суммируемым потенциалом”, Дифференциальные уравнения, 47:12 (2011), 1808-1811.

20. С.И. Митрохин, “Асимптотика спектра периодической краевой задачи для дифференциального оператора с суммируемым потенциалом”, Тр. ИММ УрО РАН, 25, 2019, 136-149.

21. Р. Беллман, К.Л. Кук, Дифференциально-разностные уравнения, Мир, М., 1967.

22. В.А. Садовничий, “О следах обыкновенных дифференциальных операторов высших порядков”, Математический сборник, 72(114):2 (1967), 293-317.

23. В.А. Садовничий, Теория операторов, Дрофа, М., 2001, 384 с.