О существовании и единственности положительного решения краевой задачи для одного нелинейного функционально-дифференциального уравнения дробного порядка

В настоящей статье рассматривается двухточечная краевая задача для одного нелинейного функционально-дифференциального уравнения дробного порядка со слабой нелинейностью на отрезке [0, 1] с нулевыми условиями Дирихле на границе. Краевая задача сводится к эквивалентному интегральному уравнения в пространстве непрерывных функций. С помощью специальных топологических средств (использующих геометрические свойства конусов в пространстве непрерывных функций, утверждения о неподвижных точках монотонных и вогнутых операторов) доказано существование единственного положительного решения рассматриваемой задачи. Приведен пример, иллюстрирующий выполнение достаточных условий, обеспечивающую однозначную разрешимость поставленной задачи. Полученные результаты являются продолжением исследований автора (см. [Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз., 2021, т. 194, с. 3-7]), посвященных вопросам существования и единственности положительных решений краевых задач для нелинейных функционально-дифференциальных уравнений.

функционально-дифференциальное уравнение дробного порядка, положительное решение, краевая задача, конус, конусный отрезок

1. X.Xu, D. Jiang, C. Yuan, “Multiple positive solutions for the boundary value problem of a nonlinear fractional differential equation”, Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, 71:10 (2009), 4676-4688.

2. S. Sun, Y. Zhao, Z. Han, M. Xu, “Uniqueness of positive solutions for boundary value problems of singular fractional differential equations”, Inverse Problems in Science and Engineering, 20:3(2012), 299-309.

3. Y. Zhao, S. Sun, Z. Han, W. Feng, “Positive solutions for a coupled system of nonlinear differential equations of mixed fractional orders”, Advances in Difference Equations, 2011, №1, 1-13.

4. T. Qiu, Z. Bai, “Existence of positive solutions for singular fractional differential equations”, Electronic Journal of Differential Equations, 2008(2008):146 (2008), 1-9.

5. Y. Zhao, S. Sun, Z. Han, Q. Li, “Positive solutions to boundary value problems of nonlinear fractional differential equations”, Abstract and Applied Analysis, 2011:217 (2011), 6950-6958.

6. Y. Zhao, S. Sun, Z. Han, Q. Li, “The existence of multiple positive solutions for boundary value problems of nonlinear fractional differential equations”, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 16:4 (2011), 2086-2097.

7. B. Ahmad, R.P. Agarwal, “Some new versions of fractional boundary value problems with slitstrips conditions”, Boundary Value Problems, 175 (2014), 1-12.

8. X. Zhang, L. Liu, Y. Wu, Y. L, “The iterative solutions of nonlinear fractional differential equations”, Applied Mathematics and Computation, 219:9 (2013), 4680-4691.

9. X. Zhang, L. Liu, Y. Wu, “Existence results for multiple positive solutions of nonlinear higher order perturbed fractional differential equations with derivatives”, Applied Mathematics and Computation, 219:4 (2012), 1420-1433.

10. X. Zhang, L. Liu, Y. Wu, “Multiple positive solutions of a singular fractional differential equation with negatively perturbed term”, Mathematical and Computer Modelling, 55:3-4 (2012), 1263-1274.

11. Y. Wang, L. Liu, Y. Wu, “Positive solutions for a nonlocal fractional differential equation”, Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, 74:11 (2011), 3599-3605.

12. Z. Bai, H. Lu, “Positive solutions for boundary value problem of nonlinear fractional differential equation”, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 311:2 (2005), 495-505.

13. S. Zhang, “Positive solutions for boundary-value problems of nonlinear fractional differential equations”, Electronic Journal of Differential Equations, 2006(2006):36 (2006), 1-12.

14. S. Liang, J. Zhang, “Positive solutions for boundary value problems of nonlinear fractional differential equation”, Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, 71:11 (2009), 5545-5550.

15. Г.Э. Абдурагимов, “О существовании и единственности положительного решения краевой задачи для одного нелинейного функционально-дифференциального уравнения дробного порядка”, Материалы Воронежской весенней математической школы «Современные методы теории краевых задач. Понтрягинские чтения-XXX». Воронеж, 3-9 мая 2019 г. Часть 5, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз., 194, ВИНИТИ РАН, М., 2021, 3-7.

16. С.Г. Крейн, Функциональный анализ, Наука, М., 1972. [

17. М.А. Красносельский, Положительные решения операторных уравнений, Физматгиз, М., 1962.