В настоящей статье рассматривается двухточечная краевая задача для одного нелинейного функционально-дифференциального уравнения дробного порядка со слабой нелинейностью на отрезке [0, 1] с нулевыми условиями Дирихле на границе. Краевая задача сводится к эквивалентному интегральному уравнения в пространстве непрерывных функций. С помощью специальных топологических средств (использующих геометрические свойства конусов в пространстве непрерывных функций, утверждения о неподвижных точках монотонных и вогнутых операторов) доказано существование единственного положительного решения рассматриваемой задачи. Приведен пример, иллюстрирующий выполнение достаточных условий, обеспечивающую однозначную разрешимость поставленной задачи. Полученные результаты являются продолжением исследований автора (см. [Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз., 2021, т. 194, с. 3-7]), посвященных вопросам существования и единственности положительных решений краевых задач для нелинейных функционально-дифференциальных уравнений.

В более ранних статьях авторов [А.П. Афанасьев, С.М. Дзюба, «О новых свойствах рекуррентных движений и минимальных множеств динамических систем», Вестник российских университетов. Математика, 26:133 (2021), 5-14] и [А.П. Афанасьев, С.М. Дзюба, «Новые свойства рекуррентных движений и предельных множеств динамических систем», Вестник российских университетов. Математика, 27:137 (2022), 5-15] фактически установлено взаимоотношение движений динамических систем в компактных метрических пространствах. Целью данной работы является распространение этих результатов на случай динамических систем в произвольных метрических пространствах. Именно, пусть Σ - произвольное метрическое пространство. В настоящей статье, прежде всего, установлено новое важнейшее свойство, связывающее в таком пространстве произвольные и рекуррентные движения. Далее, на основании этого свойства показано, что если положительная (отрицательная) полутраектория некоторого движения f(t, p) , расположенного в Σ , относительно компактна, то ω - (α -) предельное множество данного движения - компактное минимальное множество. Из этого следует, что в пространстве Σ любое нерекуррентное движение является или положительно (отрицательно) уходящим, или положительно (отрицательно) асимптотическим по отношению к соответствующему минимальному множеству.

Рассматривается задача покрытия данного выпуклого компакта гомотетичным образом другого выпуклого компакта с заданным центром гомотетии, вычисляется коэффициент гомотетии. Задача имеет старую историю и тесно связана с вопросами о чебышевском центре, задачах о транслятах и другими задачами вычислительной геометрии. Методы аппроксимации многогранниками и другие аппроксимационные методы не работают в пространстве уже умеренной размерности (более 5 на ПК). Мы предлагаем подход, основанный на применении метода проекции градиента, который гораздо слабее чувствителен к размерности, чем аппроксимационные методы. Мы выделяем классы множеств, для которых удается доказать линейную скорость сходимости градиентного метода, т. е. сходимость со скоростью геометрической прогрессии с положительным знаменателем строго меньше 1. Эти множества должны быть сильно выпуклыми и обладать в определенном смысле гладкостью границы.

В данной работе рассматривается система функций G r, n α ( x) r∈N, n=0,1,… , которые ортогональны относительно скалярного произведения соболевского типа на (-1, 1) и порождены ортогональными полиномами Гегенбауэра. Основной целью данной работы является изучение некоторых свойств, связанных с системой φ k, r ( x) k≥0 функций, порожденных ортогональной системой G r, n α ( x) функций Гегенбауэра. Исследуются условия на функцию f x , заданную в обобщенной ортогональной системе Гегенбауэра, которые гарантируют ее разложимость в обобщенный смешанный ряд Фурье вида f x ~ k=0 r-1 f k -1 x+1 k k! + k= r ∞ G r, k α f φ r, k α x , и изучается сходимость этого ряда Фурье. Второй результат этой статьи состоит в доказательстве рекуррентной формулы для системы φ k, r ( x) k≥0 . Мы также обсуждаем асимптотические свойства этих функций, что составляет заключительный результат нашей работы.

Основными в теории сингулярных интегральных операторов являются проблемы ограниченности, обратимости, нётеровости и вычисления индекса. Общая теория многомерных сингулярных интегральных операторов по всему пространству E n построена С.Г. Михлиным. Известно, что в двумерном случае, если символ оператора не обращается в нуль, то имеет место теория Фредгольма. Для операторов по ограниченной области граница этой области существенно влияет на разрешимость соответствующих операторных уравнений. В данной работе рассматриваются двумерные сингулярные интегральные операторы с непрерывными коэффициентами по ограниченной области. Такие операторы применяются во многих задачах теории дифференциальных уравнений в частных производных. В связи с этим представляет интерес установление критериев нётеровости рассматриваемых операторов в виде явных условий на их коэффициенты. В статье установлены эффективные необходимые и достаточные условия нётеровости двумерных сингулярных интегральных операторов в лебеговых пространствах L p( D ) (рассматриваемых над полем вещественных чисел), 1

В статье рассматривается линейный матрично-дифференциальный оператор n-го порядка вида An . Устанавливается операторный аналог бинома Ньютона, с помощью которого для операторов An и A -1 n получено аналитическое выражение. Приводится лемма о решении линейного уравнения, которая применяется при исследовании абстрактной задачи Коши для алгебро-дифференциального уравнения в банаховом пространстве с кубом оператора A при старшей производной. Оператор A обладает свойством иметь 0 нормальным собственным числом. Методом каскадного расщепления уравнения и условий на, соответственно, уравнения и условия в подпространствах меньших размерностей определены условия существования, единственности решения, и найдено это решение. Как приложение, полученные результаты при n=3 применяются при решении смешанной задачи для уравнения в частных производных четвертого порядка. К таким уравнениям относится обобщенное волновое уравнение на мелкой воде, обобщенное уравнение Лиувилля.

Построена нормированная алгебра ограниченных линейных комплексных операторов, действующих в комплексном нормированном пространстве, состоящем из элементов декартова квадрата вещественного банахова пространства. В этой алгебре выделено множество тех операторов, у каждого из которых действительная и мнимая части коммутируют между собой. Доказана обратимость любого оператора из этого множества, у которого сумма квадратов его действительной и мнимой частей является непрерывно обратимым оператором; найдена формула для обратного оператора. Для оператора из указанного множества исследован вид его регулярных точек: найдены условия на комплексное число, при выполнении которых это число является регулярной точкой данного оператора; получена формула для резольвенты комплексного оператора. Рассмотрено множество неограниченных линейных комплексных операторов, действующих в вышеупомянутом комплексном нормированном пространстве. В этом множестве выделено подмножество тех операторов, у каждого из которых области определения действительной и мнимой частей совпадают между собой. Для оператора из указанного подмножества найдены условия на комплексное число, при которых это число принадлежит резольвентному множеству данного оператора; получена формула для резольвенты оператора. Введено понятие полуограниченного комплексного оператора как оператора, у которого одна компонента является ограниченным, а другая неограниченным оператором. Отмечено, что первое и второе резольвентные тождества для комплексных операторов доказываются аналогично случаю действительных операторов.