О резольвенте комплексного оператора

Построена нормированная алгебра ограниченных линейных комплексных операторов, действующих в комплексном нормированном пространстве, состоящем из элементов декартова квадрата вещественного банахова пространства. В этой алгебре выделено множество тех операторов, у каждого из которых действительная и мнимая части коммутируют между собой. Доказана обратимость любого оператора из этого множества, у которого сумма квадратов его действительной и мнимой частей является непрерывно обратимым оператором; найдена формула для обратного оператора. Для оператора из указанного множества исследован вид его регулярных точек: найдены условия на комплексное число, при выполнении которых это число является регулярной точкой данного оператора; получена формула для резольвенты комплексного оператора. Рассмотрено множество неограниченных линейных комплексных операторов, действующих в вышеупомянутом комплексном нормированном пространстве. В этом множестве выделено подмножество тех операторов, у каждого из которых области определения действительной и мнимой частей совпадают между собой. Для оператора из указанного подмножества найдены условия на комплексное число, при которых это число принадлежит резольвентному множеству данного оператора; получена формула для резольвенты оператора. Введено понятие полуограниченного комплексного оператора как оператора, у которого одна компонента является ограниченным, а другая неограниченным оператором. Отмечено, что первое и второе резольвентные тождества для комплексных операторов доказываются аналогично случаю действительных операторов.

банахово пространство, комплексный вектор, норма комплексного вектора, комплексный оператор, регулярная точка комплексного оператора, резольвентное множество, резольвента

1. Н. Данфорд, Дж. Шварц, Линейные операторы. Общая теория, Иностранная литература, М., 1962.

2. Функциональный анализ, Справочная математическая библиотека, ред. С. Г. Крейн, Наука, М., 1972.

3. В.И. Фомин, “Об общем решении линейного однородного дифференциального уравнения в банаховом пространстве в случае комплексных характеристических операторов”, Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки, 24:126 (2019), 211-217.

4. В.И. Фомин, “О случае комплексных корней характеристического операторного полинома линейного однородного дифференциального уравнения n -го порядка в банаховом пространстве”, Дифференциальные уравнения, 56:8 (2020), 1045-1054.

5. Л.В. Канторович, Г. П. Акилов, Функциональный анализ, Наука, М., 1977.

6. В.И. Фомин, “О банаховой алгебре комплексных операторов”, Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки, 23:124 (2018), 813-823.

7. В.И. Фомин, “О неограниченных комплексных операторах”, Вестник российских университетов. Математика, 25:129 (2020), 57-67.

8. В.А. Треногин, Б. М. Писаревский, Т. С. Соболева, Задачи и упражнения по функциональному анализу, Физматлит, М., 2002.

9. В.И. Фомин, “Операторно-векторное правило Крамера решения систем линейных векторных уравнений в банаховом пространстве”, Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки, 7:2 (2002), 237-238.

10. К. Иосида, Функциональный анализ, Мир, М., 1967.

11. Э. Хилле, Р. Филлипс, Функциональный анализ и полугруппы, Издательство иностранной литературы, М., 1962.