Скалярное произведение и многочлены Гегенбауэра в пространстве Соболева

В данной работе рассматривается система функций G r, n α ( x) r∈N, n=0,1,… , которые ортогональны относительно скалярного произведения соболевского типа на (-1, 1) и порождены ортогональными полиномами Гегенбауэра. Основной целью данной работы является изучение некоторых свойств, связанных с системой φ k, r ( x) k≥0 функций, порожденных ортогональной системой G r, n α ( x) функций Гегенбауэра. Исследуются условия на функцию f x , заданную в обобщенной ортогональной системе Гегенбауэра, которые гарантируют ее разложимость в обобщенный смешанный ряд Фурье вида f x ~ k=0 r-1 f k -1 x+1 k k! + k= r ∞ G r, k α f φ r, k α x , и изучается сходимость этого ряда Фурье. Второй результат этой статьи состоит в доказательстве рекуррентной формулы для системы φ k, r ( x) k≥0 . Мы также обсуждаем асимптотические свойства этих функций, что составляет заключительный результат нашей работы.

скалярное произведение, пространство Соболева, многочлены Гегенбауэра

1. R.M. Gadzhimirzaev, “Sobolev-orthonormal system of functions generated by the system of Laguerre functions”, Probl. Anal. Issues Anal., 8(26):1 (2019), 32-46.

2. I.I. Sharapudinov, “Approximation of functions of variable smoothness by Fourier-Legendre sums”, Sb. Math., 191:5 (2000), 759-777.

3. I. Sharapudinov, Mixed Series of Orthogonal Polynomials, Daghestan Sientific Centre Press, Makhachkala, 2004.

4. I. I. Sharapudinov, “Approximation properties of mixed series in terms of Legendre polynomials on the classes ”, Sb. Math., 197:3 (2006), 433-452.

5. I.I. Sharapudinov, “Sobolev orthogonal systems of functions associated with an orthogonal system”, Izv. Math., 82:1 (2018), 212-244.

6. I.I. Sharapudinov, T.I. Sharapudinov, “Polynomials orthogonal in the Sobolev sens, generated by Chebychev polynomials orthogonal on a mesh”, Russian Math. (Iz. VUZ), 61:8 (2017), 59-70.

7. M. Abramowitz, I.A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Dover Publications, USA, 1964.

8. G. Szegiö, Orthogonal Plynomials. V. 23, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 1975.

9. A.F. Nikiforov, V.B. Uvarov, Special Functions of Mathematical Physics, Birkhauser Veriag Basel, Springer Basel AG., 1988.