Антипериодическая краевая задача для неявного обыкновенного дифференциального уравнения

В статье исследуется антипериодическая краевая задача для неявного нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения f t; x; x =0, x0 +x(τ)=0. Предполагается, что отображение f :R×R n ×R n →R k , определяющее рассматриваемое уравнение, является гладким и удовлетворяет условию равномерной невырожденностипервой производной infcovf v ' t,x,v : t,x,v ∈R×Rn ×Rn >0. Здесь cov A - константа Банаха линейного оператора A . Предположение равномерной невырожденности выполняется, в частности, для отображения f, определяющего нормальное обыкновенное дифференциальное уравнение. Для неявных уравнений получены достаточные условия существования решения антипериодической краевой задачи и найдены оценки решений. Сформулированы следствия для нормальных обыкновенных дифференциальных уравнений. Для доказательства основного результата исходное неявное уравнение сводится к нормальному дифференциальному уравнению за счет применения нелокальной теоремы о неявной функции. Затем в работе доказывается вспомогательное утверждение о разрешимости уравнения x+ψx =0, представляющее собой аналог теоремы Брауэра о неподвижной точке. Показывается, что отображение ψ, ставящее произвольной начальной точке x 0 значение решения задачи Коши в точке τ, корректно определено и удовлетворяет предположениям вспомогательного утверждения, что доказывает существование решения исходной краевой задачи.

антипериодическая краевая задача, неявное ОДУ, теорема о неявной функции

1. Е.Р. Аваков, А.В. Арутюнов, Е.С. Жуковский, “Накрывающие отображения и их приложения к дифференциальным уравнениям, не разрешенным относительно производной”, Дифференциальные уравнения, 45:5 (2009), 613-634.

2. А.В. Арутюнов, С.Е. Жуковский, “Применение методов обыкновенных дифференциальных уравнений для глобальных теорем об обратной функции”, Дифференциальные уравнения, 55:4 (2019), 452-463.

3. L. Nirenberg, Topics in Nonlinear Functional Analysis, American Mathematical Society, New York-London, 2001.

4. Дж. Варга, Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравненимями, Наука, М., 1977.