Обыкновенные дифференциальные уравнения и дифференциальные уравнения с запаздыванием: общие свойства и особенности

Рассматривается дифференциальное уравнение с запаздыванием , относительно неизвестной функции , абсолютно непрерывной на каждом конечном отрезке. Предполагается, что функция суперпозиционно измерима, функции , измеримы и при п. в. выполнено . Если имеет место более обременительное неравенство при некотором , то задача Коши для этого уравнения однозначно разрешима и любое решение продолжаемо на всю полуось . В то же время задача Коши для соответствующего дифференциального уравнения , как известно, может иметь беcконечно много решений, а максимальный интервал существования решений может быть конечным. В статье рассмотрен вопрос, какими из перечисленных свойств обладает уравнение с запаздыванием (единственность решения или бесконечность множества решений, бесконечность или конечность максимального интервала существования решений), если функция имеет всего лишь одну «критическую» точку — точку, для которой мера множества является положительной при любом . Оказывается, что при такой функции запаздывания свойства решений близки свойствам решений обыкновенного дифференциального уравнения. Кроме того, рассмотрена задача о зависимости решений уравнения с запаздыванием от функции .

дифференциальное уравнение с запаздыванием, задача Коши, зависимость решения от функции запаздывания

1. Н.В. Азбелев, В.П. Максимов, Л.Ф. Рахматуллина, Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений, Наука, М., 1991.

2. Н.В. Азбелев, В.П. Максимов, Л.Ф. Рахматуллина, Элементы современной теории функционально-дифференциальных уравнений. Методы и приложения, Институт компьютерных исследований, М., 2002.

3. В.П. Максимов, Вопросы общей теории функционально-дифференциальных уравнений. Избранные труды., ПГУ ПСИ ПССГК, Пермь, 2003.

4. N.V. Azbelev, V.P. Maksimov, P.M. Simonov, “Theory of functional differential equations and applications”, International Journal of Pure and Applied Mathematics, 69:2 (2011), 203–235.

5. Е.С. Жуковский, “Непрерывная зависимость от параметров решений уравнений Вольтерра”, Матем. сб., 197:10 (2006), 33–56.

6. Е.О. Бурлаков, Е.С. Жуковский, “Непрерывная зависимость от параметров решений уравнений Вольтерра с локально сжимающими операторами”, Изв. вузов. Матем., 2010, №8, 16–29.

7. Е.О. Бурлаков, Е.С. Жуковский, “О корректности краевых задач и непрерывной зависимости периодических решений управляемых систем от параметров”, Вестн. Удмуртск. унта. Матем. Мех. Компьют. науки, 2010, №1, 11–21.

8. E. Burlakov, E. Zhukovskiy, A. Ponosov, J. Wyller, “Existence, uniqueness and continuous dependence on parameters of solutions to neural field equations”, Memoirs on Differential Equations and Mathematical Physics, 65 (2015), 35–55.

9. А.В. Арутюнов, С.Е. Жуковский, “Накрывающие отображения, действующие в нормированные пространства, и точки совпадения”, Оптимальное управление и дифференциальные игры, Сборник статей, Труды МИАН, 315, МИАН, М., 2021, 19–25.

10. А.В. Арутюнов, С.Е. Жуковский, “Об устойчивой разрешимости нелинейных уравнений относительно вполне непрерывных возмущений”, Функциональные пространства, теория приближений и смежные вопросы анализа, Сборник статей. К 115-летию со дня рождения академика Сергея Михайловича Никольского, Труды МИАН, 312, МИАН, М., 2021, 7–21.

11. А.В. Арутюнов, Е.С. Жуковский, С.Е. Жуковский, “О корректности дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной”, Дифференциальные уравнения, 47:11 (2011), 1523–1537.

12. A.V. Arutyunov, E.S. Zhukovskiy, S.E. Zhukovskiy, “Covering mappings and well-posedness of nonlinear Volterra equations”, Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications, 75:3 (2012), 1026–1044.

13. Е.С. Жуковский, В. Мерчела, “Метод исследования интегральных уравнений, использующий множество накрывания оператора Немыцкого в пространствах измеримых функций”, Дифференциальные уравнения, 58:93–104 (2022).

14. С. Бенараб, Е.А. Панасенко, “Об одном включении с отображением, действующим из частично упорядоченного пространства в множество с рефлексивным бинарным отношением”, Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки, 32:3 (2022), 361–382.

15. В.И. Арнольд, Теория катастроф, Наука, М., 1990.

16. И.А. Богаевский, “Неявные обыкновенные дифференциальные уравнения: перестройки и усиление эквивалентности”, Изв. РАН. Сер. матем., 78:6 (2014), 5–20.

17. А.А. Давыдов, “Особенности типичного дохода в модели Арнольда циклических процессов”, Дифференциальные уравнения и динамические системы, Сборник статей, Труды МИАН, 250, Наука, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2005, 79–94.

18. А.А. Давыдов, Е. Мена Матош, “Типичные фазовые переходы и особенности выгоды в модели Арнольда”, Матем. сб., 198:1 (2007), 21–42.

19. И.В. Шрагин, “Суперпозиционная измеримость при обобщенных условиях Каратеодори”, Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки, 19:2 (2014), 476–478.

20. И.Д. Серова, “Суперпозиционная измеримость многозначной функции при обобщенных условиях Каратеодори”, Вестник российских университетов. Математика, 26:135 (2021), 305–314.

21. Ю.Г. Борисович, Б.Д. Гельман, А.Д. Мышкис, В.В. Обуховский, Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений, 2-е изд., Либроком, М., 2011, 224 с.

22. Е.С. Жуковский, “О связности множеств решений включений”, Матем. сб., 210:6 (2019), 82–110.